$\bf证明$ 由于$\left\{ {{f_n}\left( x \right)} \right\}$几乎处处收敛于$f(x)$，则存在零测集$E_0$，使得$\lim \limits_{n \to \infty } {f_n}\left( x \right) = f\left( x \right)$在$E_1=E\backslash {E_0}$上成立，
于是对任给的$\varepsilon > 0$，我们有
即${E_1} = \mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } {E_1}\left( {\left| {{f_n} - f} \right| < \varepsilon } \right)$，从而由测度的性质知
由$m\left( E \right) < \infty $，我们得到
$\bf注1：$设$\left\{ {{E_n}} \right\}$是一列可测集，记$\mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } {E_n} = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {\bigcap\limits_{k = n}^\infty {{E_k}} } $，则
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