sgu208：Toral Tickets(Pólya定理)

题意简述：给你$N$和$M$，对于一个$N*M$的单面方格纸你可以对它的每

个个格子黑白染色，然后把方格纸的长边卷起来，卷成一个圆柱体，然后再把

两个短边形成的圆也接起来，形成一个游泳圈的形状（我们染的色只在游泳圈

的外表面）。如果对于两种黑白染色方案，通过卷成这样的游泳圈后，是一样

的，则这两种方案也是一样的。给定$N，M<=20$，求染色方案总数.

分析：
首先我们得会Pólya定理，参见http://wenku.baidu.com/view/bf92a95f804d2b160b4ec0be.html

根据题目的要求，分两种情况：

①若$N=M$，那么就有翻转$0^o,90^o,180^o,270^o$与上下移动，左右移动共$N*M*2*2$种置换；

②若$N≠M$，那么就有翻转$0^o,180^o$与上下移动，左右移动共$N*M*2$种置换；

根据Pólya定理，我们分三步：

①暴力搜出所有置换；

②搜出所有置换的循环；

③把答案累加后除以置换数。

时间复杂度：
①$O(N*M)$②$O(N*M)$
因此总的为$O((N*M)^2)$

$ps.$我们需要写高精度，可以预处理$2$的幂来进行加速。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 29;
const int MAXM = 29;
const int MAXL = 200;

int n, m;

int G;
bool check_square;
int ex[MAXN*MAXM];

struct bigNum
{
    int a[MAXL];
    bigNum(){memset(a, 0, sizeof(a));a[0] = 1;}
    inline void operator += (const bigNum &add)
    {
        a[0] = max(a[0], add.a[0]);
        for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
        {
            a[i] += add.a[i];
            a[i+1] += a[i]/10;
            a[i] %= 10; 
        }
        if(a[a[0]+1]) a[0]++;
    }
    inline void operator /= (int k)
    {
        for(int i = a[0]; i > 0; --i)
        {
            a[i-1] += a[i]%k*10;
            a[i] /= k;  
        }
        for(; a[0] > 0; --a[0])
            if(a[a[0]]) return ;
    }
    inline void print()
    {
        for(int i = a[0]; i > 0; --i)
            printf("%d", a[i]); 
    }
}ans, pow2[MAXN*MAXM];

inline void init()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if(n == m) G = n*m*4, check_square = true;
    else G = n*m*2;
    for(int i = 1; i <= n*m; ++i)
        ex[i] = i;
}

inline int calc()
{
    int re = 0;
    bool hash[MAXN*MAXM] = {false};
    for(int i = 1; i <= n*m; ++i)
        if(!hash[i])
        {
            for(int j = i; !hash[j]; j = ex[j])
                hash[j] = true;
            re++;
        }
    return re;
}

inline void rotate()
{
    int nex[MAXN*MAXM] = {0};
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
            nex[(m-j)*n+i] = ex[(i-1)*m+j];
    for(int i = 1; i <= n*m; ++i) ex[i] = nex[i];
    swap(n, m);
}

inline void shift_down()
{
    int nex[MAXN*MAXM] = {0};
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
            nex[(i%n)*m+j] = ex[(i-1)*m+j];
    for(int i = 1; i <= n*m; ++i) ex[i] = nex[i];
}

inline void shift_right()
{
    int nex[MAXN*MAXM] = {0};   
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
            nex[(i-1)*m+j%m+1] = ex[(i-1)*m+j];
    for(int i = 1; i <= n*m; ++i) ex[i] = nex[i];
}

inline void work()
{
    pow2[0].a[0] = pow2[0].a[1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n*m; ++i)
    {
        bigNum tmp = pow2[i-1];
        tmp += pow2[i-1];
        pow2[i] = tmp;
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            ans += pow2[calc()];
            rotate();
            if(check_square) ans += pow2[calc()];
            rotate();
            ans += pow2[calc()];
            rotate();
            if(check_square) ans += pow2[calc()];   
            rotate();
            shift_right();
        }
        shift_down();
    }
    ans /= G;
}

inline void print()
{
    ans.print();
    puts("");   
}

int main()
{
    init();
    work();
    print();
    return 0;
}