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以下内容来自于《算法导论》 lz新手，存在各种错误以及各种不合理的地方望大家指出
θ记号 θ(g(n))={f(n):存在正常数c1,c2,n0,使得对所有n≥n0,有0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)}。
O记号 O(g(n))={f(n):存在正常数c,n0,使得对所有n≥n0,有0≤f(n)≤cg(n)}。
Ω记号 Ω(g(n))={f(n):存在正常数c,n0,使得对所有n≥n0,有0≤cg(n)}≤f(n)}。
o记号 o(g(n))={f(n): 对任意正常数c>0,存在n0,使得对所有n≥n0,有0≤f(n)≤cg(n)}。
ω记号 ω(g(n))={f(n): 对任意正常数c>0,存在n0,使得对所有n≥n0,有0≤cg(n)}≤f(n)}。
存在的几种性质：
传递性
自反性：f(n)=K(f(n)) ---K代表θ,O,Ω三种情况
对称性：f(n)=θ(g(n)) ---当且仅当g(n)=θ(f(n))
转置对称性：f(n)=O(g(n)) ---当且仅当g(n)=Ω(f(n))
3.1-1
证明: 
step1: 根据定义,上式等价于 
step2: 且根据 
可知，c1=1/2,c2=1 可满足要求，所以得证
3.1-2
证明对任意实常量a和b,其中b>0,有
step1: 将上式转换为 
step2: 再进一步改为 
,从而只需证 
step3: 当 n0=⌈a+1⌉时 n≥n0，k1→0,k2=3满足条件，得证。
3.1-3
因为O这一符号包含了上限的意思。
3.1-4 
成立，
不成立。
3.1-5
条件 f(n)=O(g(n)) 和 f(n)=Ω(g(n))
求证 f(n)=θ(g(n))
证明： 根据定义 0<f(n)≤c2g(n) 和 0<c1g(n)≤f(n)，从而可知存在c1和c2使得c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)，从而得证。
3.1-6
根据定理3.1可知。
3.1-7
从定义上来证明。
3.1-8
略
多项式与指数的增长率之间的关联：
(其中a>1) 从而可得 
, 任意底大于1的指数函数比任意多项式函数增长的快。
自然对数e: 
(对所有实数x)
从而有不等式 
对所有x，我们有 
多项式与多对数的增长互相关联:
，从而
阶乘的斯特林近似公式：
n! 的上下界: 
对所有n≥1有： 
,其中
定义： 
黄金分割率?及其共轭数?′的值为
的两个根
和
斐波那契数和黄金分割率的关系： 
又因为
，所以有
，从而
，蕴含着斐波那契数以指数形式增长
3.2-1
条件：f(n)和g(n)均是单调递增函数
需证：f(n)+g(n)和f(g(n))也是单调递增的
很明显的感觉！略
若增加条件f(n)和g(n)均非负，证f(n)∗g(n)也单调递增
略
3.2-2
证明： 
等式两边同时取ln得: 左边=
, 右边=
. 从而 左边=右边， 得证
3.2-3
根据斯特林公式可得： 
从而例如
便可满足要求，从而得证。 后续的两个证明较易，略。
3.2-4
没理解。？
3.2-5
根据
定义可知
3.2-6
常规的解二次方程即可。
3.2-7
证明
step1: 当 i=0时 
满足，当i=1时 
满足。
step2: 假设
及n以前均满足
step3: 
得证 (注:其中用到
和
)
3.2-8
用到性质
.从而有
且只需证
根据
从而得证。
3-1
略
3-2
a. 根据多项式与对数的关系 
可知 
b. 根据多项式与指数的关系 
(其中a>1) 可知 
c. 由于
存在周期性波动(如每半个周期值回到1)，所以不存在上下界关系
d. 
可知
e. 根据
可知
，从而 
f. 根据
可得 
3-3
略
3-4
a. 错误,，如
但
b. 错误，如
不满足
c. 正确，
和
从而只需满足存在c1,c2和n0使得
成立。显然存在。
d. 错误，如
e. 正确，
f. 正确， 转置对称性
g. 错误， 如取
时便不满足
h. 正确，
可满足
3-5
3-6
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Paul-chen/p/4332325.html
