博弈论学习笔记（三）迭代剔除和中位选民定理

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迭代剔除劣势策略

先找出劣势策略，剔除劣势策略，再继续审视这个博弈，找出哪些现在也成了劣势策略，然后剔除他们。如此反复进行，这个过程被称之为迭代剔除劣势策略。它揭示了以下过程的主旨：站在对方的立场上去换位思考，推测对手的行动策略，同时想想对手也会站在你的立场推测你的意图，这样反复进行。像之前的猜数游戏，最后结果就剔除到1了。

中位选民定理在政治学中的一个案例

假设有两个候选人，而这两个候选人为了选举必须确定自己的政治主张，这两个人就是参与者（players）。
策略就是：他们要从一系列政治主张中选择一个政治立场。简单点说，一系列政治主张中一共有10个政治立场、这是个立场我们分别称为：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
越靠近左边的立场越代表左翼分子的立场；越靠近右边的立场越代表右翼分子的立场。
这两个候选人需要确立自己的政治立场，这里假设每个政治立场都会有10%的选票，他们平均分布。假设选民会投票给离他们政治立场最近的候选人。假设出现平局时该立场的选票会分摊。
我们假设这个博弈的收益是候选者希望尽可能最大化获得的选票。

最开始，1和10是劣势策略，1严格劣于2，10严格劣于9。
证明：1严格劣于2。
U1(1,1) = 50% < U1(2,1) = 90%
U1(1,2) = 10% < U1(2,2) = 50%
U1(1,3) = 15% < U1(2,3) = 20%
U1(1,4) = 20% < U1(2,4) = 25%
U1(1,5) = 25% < U1(2,5) = 30%
U1(1,6) = 30% < U1(2,6) = 35%
U1(1,7) = 35% < U1(2,7) = 40%
U1(1,8) = 40% < U1(2,8) = 45%
U1(1,9) = 45% < U1(2,9) = 50%
U1(1,10) = 50% < U1(2,10) = 55%

这里，U1(i,j)表示候选人1在选择策略i而对手选择策略j是候选人1所获得选票的比例。
所以对于任意可选的j,U1(1,j) < U2(2,j)。所以1严格劣于2。
同理，10严格劣于9。
于是，考虑到大家都不会选1和10，剔除掉策略1和策略10。
在剔除1和10的情况下，考虑新产生的严格劣势策略。发现2严格劣于3,9严格劣于8。
证明：2严格劣于3。
因为1和10已经被证明为严格劣势策略了，所以对手不会选择策略1和策略10，这种情况下，
U1(2,2) = 50% < U1(3,2) = 80%
U1(2,3) = 20% < U1(3,3) = 25%
U1(2,4) = 25% < U1(3,4) = 30%
U1(2,5) = 30% < U1(3,5) = 35%
U1(2,6) = 35% < U1(3,6) = 40%
U1(2,7) = 40% < U1(3,7) = 45%
U1(2,8) = 45% < U1(3,8) = 50%
U1(2,9) = 50% < U1(3,9) = 55%
所以对于任意可选的j,U1(2,j) < U2(3,j)。所以2严格劣于3。
同理，9严格劣于8。
。。。。。。
所以最后就剩下了策略5和策略6。 -- 中位选民定理

中位选民定理有一些古老的案例：
1960年尼克松和肯尼迪在竞选中实际上都聚集在中间立场，而8年后尼克松似乎学到了教训，如果你回顾68年尼克松胜出的那场选举，尼克松在那些表达他政治主张的选举录像里看起来，作为一位共和党人士的他却并不保守，这一次他们又采用了一样的伎俩。有人说92年克林顿也采用了一样的伎俩，他将民主党向右翼靠拢，也就是说变得中立，以此来拉拢中间选民并获胜。

中位选民定理在经济学中的一个应用--产品植入

在产品植入领域里，假设你在考虑设立一个加油站，你会想如果加油站能均匀覆盖城镇每一个角落或者遍布整条公路那该多好，这样无论你在哪里需要加油时，附近就会有一个加油站，那该会非常的方便。但是事实上加油站都设在差不多相同地点，他们趋向设立于同一个路口。他们这么做的原因是：他们都为了拉拢附近的客源或是那些刚刚耗完汽油的的顾客而相互竞争。他们通过挤在一起避免自己因为选址的问题而被淘汰出局。

最佳对策 best response

这是一个只有两个人参加的简单博弈，参与者1有U,M,B三种策略，参与者2有L,R两种策略，两人的收益如表中所示。

这种情况下对于两位参与者没有严格优势策略和劣势策略。
我们设Px为对手（参与者2）选L的概率。
PU = Px * 5 + 0 * (1 - Px) = 5 * Px
PM = Px * 1 + 4 * (1 - Px) = 4 - 3 * Px
PB = Px * 4 + 2 * (1 - Px) = 2 + 2 * Px

x=2/5; y=2/3

所以，当Px<2/5时选择策略M，当2/5<Px<2/3时选择策略B，当Px>2/3时选择策略U。
所以这个时候估计对方选择L的概率很重要。

博弈论学习笔记（三）迭代剔除和中位选民定理

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