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先是在蓝桥杯的网站上看到一道题：
给出1~n的一个排列，求出区间内所有数是连续自然数的区间的个数。n<=50000。
由于数据较弱，即使用O(N^2)的算法也能拿到满分。
于是在CF上发现了这一题：
给一个1~n的排列，在这个排列中选出两段区间，求使选出的元素排序后构成公差为1的等差数列的方案数。选出的两段区间中元素构成的集合相同时视为同一种方案。N<=300000。
可以发现CF的这题是上一题的强化版。
虽然蓝桥的题目是简化版，但正确的做法似乎没有CF这道题容易想到。
蓝桥的题首先想到的应该是枚举区间，判断区间最大值与最小值的差是否等于区间长度，这样时间复杂度是O(N^2)。
似乎不知道该如何优化。
因此先从CF这题考虑一个比较容易想到的做法：
考虑自然序列[l,r],假设已经知道[l,r]在读入序列中被分成了几段(假设f[l,r]=k),那么在加入数l-1时,只需判断l-1这个数是单独构成一段(f[l-1,r]=k+1),还是并入了其中一段(f[l-1,r]=k),或者连接了两段(f[l,r]=k-1).当k等于1或2时就可以累加答案.使用这样的方法同样只需要枚举区间左右端点就可以得到一个O(n^2)的算法.再进一步考虑自然序列[l,i],(l<=i<=n).假设t=l-1,在读入序列的左右分别是数x和y(假设x<y).那么对应的f[l-1,m] 中m对应的区间要进行相应的更新(+1,-1),这里可以用线段树来维护.和查询.如此只需要n到1循环l,可以在O(nlogn)的时间复杂度实现.
对于蓝桥杯的题,假设当前枚举的数是i令[l,r],为f[i,l~r]数值区间.线段树需要维护的东西有区间内最小值,区间内等于最小值的数的个数.CF题需要额外维护,等于区间最小值+1的数的个数.
蓝桥杯的代码:
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define lson x<<1 #define rson x<< 1 | 1 const int MAXN = 50009; struct Segtree { int l, r, val, add, tol; } St[MAXN << 2]; int p[MAXN], a[MAXN]; int n, ans; void Build (int x, int l, int r) { St[x].l = l, St[x].r = r; St[x].tol = r - l + 1; if (l == r) return; int mid = (l + r) >> 1; Build (lson, l, mid), Build (rson, mid + 1, r); } void push (int x) { if (St[x].add == 0) return; St[lson].add +=St[x].add, St[rson].add += St[x].add; St[lson].val += St[x].add, St[rson].val += St[x].add; St[x].add = 0; } void update (int x) { St[x].val = min (St[lson].val, St[rson].val); St[x].tol = St[lson].tol * (St[x].val == St[lson].val) + St[rson].tol * (St[x].val == St[rson].val); } void Modify (int x, int l, int r, int key) { if (St[x].l >= l && St[x].r <= r) { St[x].val += key, St[x].add += key; return; } push (x); int mid = (St[x].l + St[x].r) >> 1; if (mid >= l) Modify (lson, l, r, key); if (mid < r) Modify (rson, l, r, key); update (x); } void Query (int x, int l, int r) { if (St[x].l >= l && St[x].r <= r) { ans += St[x].tol * (St[x].val == 1); return; } push (x); int mid = (St[x].l + St[x].r) >> 1; if (mid >= l) Query (lson, l, r); if (mid < r) Query (rson, l, r); } int main() { scanf ("%d", &n); for (int i = 1, x; i <= n; i++) { scanf ("%d", &x); p[x] = i; } Build (1, 1, n); for (int i = n; i; i--) { a[p[i]] = i; int x = a[p[i] - 1], y = a[p[i] + 1]; if (x > y) swap (x, y); if (x && y) Modify (1, i, x - 1, 1), Modify (1, y, n, -1); else if (y) Modify (1, i, y - 1, 1); else Modify (1, i, n, 1); Query (1, i, n); } printf ("%d", ans); }
CF的代码：
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define lson x<<1 #define rson x<< 1 | 1 const int MAXN = 300009; struct Segtree { int l, r, val, add, tol, tol2; } St[MAXN << 2]; int p[MAXN], a[MAXN]; int n; long long ans; void Build (int x, int l, int r) { St[x].l = l, St[x].r = r; St[x].tol = r - l + 1; if (l == r) return; int mid = (l + r) >> 1; Build (lson, l, mid), Build (rson, mid + 1, r); } void push (int x) { if (St[x].add == 0) return; St[lson].add +=St[x].add, St[rson].add += St[x].add; St[lson].val += St[x].add, St[rson].val += St[x].add; St[x].add = 0; } void update (int x) { St[x].val = min (St[lson].val, St[rson].val); St[x].tol = St[lson].tol * (St[x].val == St[lson].val) + St[rson].tol * (St[x].val == St[rson].val); St[x].tol2=St[lson].tol*(St[x].val+1==St[lson].val)+St[rson].tol*(St[x].val+1==St[rson].val); St[x].tol2+=St[lson].tol2*(St[x].val==St[lson].val)+St[rson].tol2*(St[x].val==St[rson].val); } void Modify (int x, int l, int r, int key) { if (St[x].l >= l && St[x].r <= r) { St[x].val += key, St[x].add += key; return; } push (x); int mid = (St[x].l + St[x].r) >> 1; if (mid >= l) Modify (lson, l, r, key); if (mid < r) Modify (rson, l, r, key); update (x); } void Query (int x, int l, int r) { if (St[x].l >= l && St[x].r <= r) { ans += St[x].tol * (St[x].val <=2)+St[x].tol2*(St[x].val==1); return; } push (x); int mid = (St[x].l + St[x].r) >> 1; if (mid >= l) Query (lson, l, r); if (mid < r) Query (rson, l, r); } int main() { scanf ("%d", &n); for (int i = 1, x; i <= n; i++) { scanf ("%d", &x); p[x] = i; } Build (1, 1, n); for (int i = n; i; i--) { a[p[i]] = i; int x = a[p[i] - 1], y = a[p[i] + 1]; if (x > y) swap (x, y); if (x) Modify (1, i, x - 1, 1), Modify (1, y, n, -1); else if (y) Modify (1, i, y - 1, 1); else Modify (1, i, n, 1); Query (1, i, n); } printf ("%I64d", ans-n); }
Codeforces 193D Two Segments 解题报告
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原文地址：http://www.cnblogs.com/keam37/p/4335914.html
