背包问题

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0-1背包

• 题目描述：有n件物品和一个容量为v的背包，每件物品只有一个，第i件物品的重量为c[i],价值为w[i],求解将哪些物品放入背包中，是得这些物品的总重量不超过v且总价值最大。
• 基本思路：利用动态规划来解决此问题，用f[i][v]表示前i件物品恰好放入一个容量为v的背包中所获得的价值，对于物品i，如果放入背包中，那么子问题就是前i-1件物品恰好放入容量为v-c[i]的背包中，若物品i不放入背包中，则子问题就是前i件物品恰好放入容量为v的背包中，所以状态转移方程为f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]+w[i]}。注意恰好两字表明f[i][v]只有在前i件物品的总量恰好为i时有意义，所以最终答案是f[n][0...v]中的最大值。　
• 空间复杂度优化：以上方法的时间，空间复杂度均为O(n*v),但空间复杂度可以优化到O(v)。思路就是用f[v]来表示上面定义的状态f[i][v],因为f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，所以在每次主循环中，以v...0的次序来递推即可，因为若是以0...v的次序来推的话，f[v]则是由f[i-1][v]和f[i][v-c[i]](f[i-1][v-c[i])已被覆盖)两个状态递推而来。

完全背包问题

•  题目描述：有n件物品和一个容量为v的背包，每件物品有无限个，第i件物品的重量为c[i],价值为w[i],求解将哪些物品放入背包中，是得这些物品的总重量不超过v且总价值最大。
• 基本思路：将此问题转化为0-1背包问题求解。把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<v,因为不管选取几件第i种物品，总可以表示成2^k的和。通过这种转化可以将完全背包问题转化为0-1背包问题，时间，空间复杂度均为不变。

背包问题

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