多重背包——二进制转化法

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      多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

      这种背包问题与完全背包问题相似。对于第i种物品，可以取0件，1件，2件，……，n[i]件。可以把这种问题转化为01背包问题，对于取1,2，……，n[i]件各立一个物品，这样就可以用01背包的方法轻松解决。但是，当遇上强数据时，这种方法能会超时。解决方法是：利用二进制的特性，把n[i]表示为2^n的格式。这样，既可以完成转化的目的，又将每个物品转化后的个数从n[i]降低至log(n[i])，避免了超时。

      给出一个例题：

宝物筛选(Treasure．pas/c/cpp)

【题目描述】

终于，破解了千年的难题。小FF找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物……这下小FF可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小FF的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小FF只能含泪舍弃其中的一部分宝物了……小FF对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小FF有一个最大载重为W的采集车，洞穴里总共有n种宝物，每种宝物的价值为v[i]，重量为w[i]，每种宝物有m[i]件。小FF希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

【输入格式】

接下来n行每行三个整数，其中第i行第一个数表示第i类品价值，第二个整数表示一件该类物品的重量，第三个整数为该类物品数量。

第一行为一个整数N和w，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

【输出格式】

输出仅一个整数ans，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

【输入样例】

  4 20

  3 9 3

  5 9 1

  9 4 2

  8 1 3

【输出样例】

  47

【数据范圈】

对于30%的数据：n≤∑m[i]≤10^4；0≤W≤10^3。

对于100%的数据：n≤∑m[i]≤10^5；

0 <w≤4*10^4：1≤n<100。

      这就是一道典型的多重背包的应用。代码给出如下：

var
m,w,ms,i,k,a,b,c,j:longint;
k2,k1,f:array[0..1000000] of longint;
function max(a,b:longint):longint;
begin
        if a>b then exit(a);
        exit(b);
end;
begin
assign(input,‘treasure.in‘);
assign(output,‘treasure.out‘);
reset(input);rewrite(output);
        readln(m,w);ms:=0;
        for i:=1 to m do begin
                readln(a,b,c);
                k:=1;
                while (c>=k) do begin
                        inc(ms);
                        k1[ms]:=a*k;k2[ms]:=b*k;
                        dec(c,k);
                        k:=k shl 1;
                end;
                if (c>0) then begin
                        inc(ms);
                        k1[ms]:=a*c;k2[ms]:=b*c;
                end;
        end;
        for i:=1 to ms do
                for j:=w downto k2[i] do
                        f[j]:=max(f[j],f[j-k2[i]]+k1[i]);
        writeln(f[w]);
close(input);close(output);
end.

多重背包——二进制转化法

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Darksun/p/4340404.html