从回归树到GBDT

GBDT可以看做是由多棵回归树组成的，所以要理解GBDT，就要先理解回归树。回归树也是为了做预测，只是将特征空间划分成了若干个区域，在每个区域里进行预测，举个简单例子。

图中的数据有两个特征：$x_{1}$、$x_{2}$，根据这两个特征可以很容易地把数据分为左下角、左上角、右上角、右下角四个区域，这四个区域各有一个中心点（5,5）、（5,10）、（10,10）、（10,5），在对新数据做预测时，该数据落在哪个区域，就把该区域的中心点作为它的预测值。那么如何判断新数据将落在哪个区域呢？这时候“树”就派上用场了。树的根节点以$x_{1}$做划分，小于8的划分到左子树，大于8的划分到右子树，在划分好的左右子树上再以$x_{2}$做进一步的划分，小于8的划分为左叶子，大于8的划分为右叶子，如下图所示：

可以看到，回归树也相当于一个映射，一个函数，即根据输入$x_{1}$、$x_{2}$来求得输出 $y$，表达式如下：

$$y=h(x)=\sum_{j=1}^{J}b_{j}I(x\in R_{j})$$
其中，$R_{j}$就是一个个的区域，如第一张图中的“左下角”、“左上角”等，如果$x$属于$R_{j}$，那么它的预测值就是$b_{j}$。$I()$为指示函数，当括号内的式子成立时返回1，否则返回0。

GBDT

在很多情况下，一棵回归树的预测是不太准确的，我们可以尝试采用多棵回归树去预测，第 $m$ 棵回归树可以表示为如下数学形式：

$$h_{m}(x)=\sum_{j}^{J}b_{jm}I(x\in R_{jm})$$
假设共有$M$棵回归树，那么最终的预测结果为：
$$y=F_{M}(x)=\sum_{m=1}^{M}h_{m}(x)$$
表达成递归形式则为：
$$y=F_{M-1}(x)+h_{M}(x)$$
最完美的GBDT（就训练集而言，不考虑测试集）就是预测值 $y$ 与目标值 $t$ 相等，所以我们建立模型的目标就是令$y=t$，即：
$$t=F_{M-1}(x)+h_{M}(x)$$
GBDT也是从第一棵回归树开始的，不管效果怎么样，先建第一棵回归树，有了第一棵树，就可以通过上面的递归表达式建立第二棵，直到第$M$棵树，那么我们先看一下第二棵树怎么建立。对上面的递归式做个变形，即：
$$h_{M}(x)=t-F_{M-1}(x)$$
注意到$h_{M}(x)$就是我们要建立的第2 ($M=2$)棵树，已有的是第一棵树，第一棵树一经建成就不变了，相当于一个已知的函数，那么$（t-F_{M-1}(x)）$实际上就是我们在建第 $M$ 棵树时想要得到的预测值。所以在建第二棵树时，我们将目标值 $t$ 与第一棵树的预测值的差作为新的目标值，同样，在建第三颗树时，我们将目标值 $t$ 与前两棵树的预测值的差作为新的目标值，直到第 $M$ 棵树。$（t-F_{M-1}(x)）$就是所谓的残差，这就是从残差的角度来理解GBDT。
注意到，GBDT的建树过程不是并行的，而是串行的，所以速度较慢，但所有的树一旦建好，用它来预测时是并行的，最终的预测值就是所有树的预测值之和。

拓展

GBDT实际上是由两部分组成：GB 和 DT，DT 意味着每个basic learner （weaker learner）是“树”的形式，而GB则是建树过程中依据的准则。DT 可以不变，而 GB 有多种形式，上述的残差只是其中的一种形式。注意到损失函数可以表示为：

$$\varepsilon=\frac{1}{2}（t-F(x)）^2$$
该损失函数关于$F(x)$的导数（梯度）为：
$$d\varepsilon/dF(x) =-（t-F(x)）$$
该损失函数在$F_{M-1}(x)$处的导数（梯度）为：
$$d\varepsilon/dF(x)|_{F_{M-1}(x)} =-（t-F_{M-1}(x)）$$
所以在建立第 $M$ 棵树时，新的目标值正好就是损失函数在 $F_{M-1}(x)$ 处的负梯度。众所周知，损失函数可以有多种形式，所以不同的损失函数就可以对应到不同的变种。

举例

本例仅用于说明大意，实际结果肯能不同，比如数据有两个feature：$x_{1}$、$x_{2}$，对应的目标值为 $t=sin(x_{1})+sin(x_{2})$，如下图所示：

根据feature1可以建立一个回归树，预测结果如下：

这两张图的差值用于建立第二棵回归树，这次选择了feature2，预测结果如下：

上述两棵树的和就是正确的预测值。