向量概念

向量概念：

简单理解，具有大小和方向的量称为向量。

更具体一些，我们可以把一个向量理解为“一个位移”或表达“一点相对于另一点位置”的量。

有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点。例如，力就是既有大小、方向又有作用点的向量。
而有些量只有大小和方向，而无特定的位置。例如，位移速度等。我们将这种向量称为自由向量。

有向线段

具有方向的线段，叫做有向线段。同向且等长的有向线段表示同一向量。

向量的模

如果$\vec {AB}$=a，那么$\vec {AB}$的长度表示向量a的大小，也叫做a的长（或模），记作|a|。

向量相等

两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a=b。

零向量

长度等于零的向量，叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定。

单位向量

单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

单位向量等于非零向量除以它的模，即：e=${a\over|a|}$

共线定理：

如果a=λb，则a//b；反之，如果a//b(b!=0)，则一定存在一个实数λ，使a=λb。

垂直定理：

a⊥b的充要条件是a·b=0，即：x?x?+y?y?=0。

已知两点求向量：

A（x?，y?），B（x?+y?），即：$\vec {AB}$=（x?-x?，y?-y?）

向量长度（1）：

a=（a?，a?），则 |a|2=a · a=（a?，a?）·（a?，a?）=a?2+a?2。

即： |a|=$\sqrt[2]{a?2+a?2}$

向量长度（2）：

A（x?，y?），B（x?+y?），则：$\vec {AB}$=（x?-x?，y?-y?）

即： |$\vec {AB}$| = $\sqrt[2]{(x?-x?)2+(y?-y?)2}$

向量计算

向量加法：

上图就是向量求和的三角形法则，通过三角形法则还可以推导出四边形法则和多变法则。

a(x?,y?) b(x?,y?)， 则：a+b=(x?+x?,y?+y?)

向量减法：

将两个向量的起始点放在一起，如上图的AC和AB，则这两个向量的差是以减向量（$\vec {AB}$）的终点（B）为始点，被减向量（$\vec {AC}$）的终点（C）为终点的向量。

a(x?,y?) b(x?,y?)， 则：a-b=(x?-x?,y?-y?)

向量数乘：

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。

向量数乘满足下列运算律：
(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)
(λ+μ)a=λa+μa
λ(a+b)=λa+λb

向量点乘（数量积，内积）：

定义：

|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·b，即：

a·b = |a| |b| cos〈a,b〉

特性：

1.如果e是单位向量，则a·e=e·a=|a| cos〈a,e〉

2.a⊥b$\Rightarrow$a·b=0 且a·b=0$\Rightarrow$a⊥b

3.a·a=|a|2或|a|=$\sqrt {a·a}$

4.cos〈a,b〉= ${a·a\over|a| |b|}$

5.|a·b|≤|a| |b|