标签：

2015-3-19 时限2天

跳台阶问题

题目描述

一个台阶总共有n 级，如果一次可以跳1 级，也可以跳2 级。

求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

分析与解法

首先考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法。如果有2级台阶，那就有两种跳的方法了：一种是分两次跳，每次跳1级；另外一种就是一次跳2级。

现在我们再来讨论一般情况。我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。

• 当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：
  • 一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；
  • 另外一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。

因此n级台阶时的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

我们把上面的分析用一个公式总结如下：

        /  1                             n = 1
f(n)=      2                             n = 2
        \  f(n-1) + f(n-2)               n > 2

原来上述问题就是我们平常所熟知的Fibonacci数列问题。可编写代码，如下：

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    int result[3] = {0, 1, 2};
    if (n <= 2)
        return result[n];

    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

那么，如果一个人上台阶可以一次上1个，2个，或者3个呢？这个时候，公式是这样写的：

        / 1                                      n = 1
f(n)=     2                                      n = 2
          4                                      n = 3       //111, 12, 21, 3
        \ f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)                   n > 3

兔子繁殖问题

如果有一对小兔，每一个月都生下一对小兔，而所生下的每一对小兔在出生后的第三个月也都生下一对小兔。那么，由一对新兔子开始，满一年时一共可以繁殖成多少对兔子？

f(1) = 1(第1个月有一对兔子）
f(2) = 1(第2个月还是一对兔子）
f(3) = 2(原来有一对兔子，第3个开始，每个月生一对兔子）
f(4) = 3(原来有两对兔子，有一对可以生育）
f(5) = 5(原来有3对兔子，第3个月出生的那对兔子也可以生育了，那么现在有两对兔子可以生育）
f(6) = 8(原来有5对兔子，第4个月出生的那对兔子也可以生育了，那么现在有3对兔子可以生育）
..............
由以上可以看出，第n个月兔子的对数为
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);
f(n-1)是上个月的兔子数量，是原来有的。
f(n-2)是可以生育的兔子数，即多出来的数量。第n-2个月开始后的第3个月是第n个月，此时第n-2个月时的兔子都可以生育了。

思考后再看

思考2:如果有一对小兔，每一个月都生下一对小兔，而所生下的每一对小兔在出生后的第k个月也都生下一对小兔。那么，由一对兔子开始，满一年时一共可以繁殖成多少对兔子？

这种情况下的推导公式怎么写？

f(n)=f(n-1)+f(n-k+1)
第n个月的数量正好是第n-1个月第n-k+1个月的数量
第n-k+1个月的数量可以视为 第n-k+1个月中已经具备繁殖能力的兔子和尚未具备繁殖能力的兔子总和, 他们都会在第n个月繁殖

思考后再看

练习：

http://acm.zcmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1214

http://acm.zcmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1347

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2290

step2 for new acmer 学习斐波那契数列

标签：

原文地址：http://www.cnblogs.com/kylehz/p/4347220.html