13.赫夫曼树及其应用

    

第二步：取头两个最小权值的结点作为一个新结点N1的两个孩子，相对较小的是左孩子。新结点的权值为两个叶子权值的和。如下图：

第三步：将N1替换A和E，新序列为：N115，B15，D30，C40。

第四步：重复步骤2，将N1与B作为新结点N2的两个孩子，N2的权值为15+15=30。如下图：

第五步：将N2替换N1和B，新序列为：N230，D30，C40。

第六步：重复步骤2。将N2和D作为新结点N3的两个孩子，N3的权值为30+30=60，如下图：

第七步：将N3替换N2和D，新序列为：C40，N360。

第八步：重复步骤2，将C与N3作为新结点T的两个孩子，T是根节点，至此完成赫夫曼树的构造。如下图：

    图中的二叉树的WPL = 40*1 + 30*2 + 15*3 + 10*4 + 5*4 = 205。经过上面步骤构造出来的二叉树就是最优的赫夫曼树。

1.定义

    假设需要编码的字符集为{d1,d2,...dn},各个字符在电文中出现的次数或频率集合为{w1,w2,...,wn},以d1,d2,...,dn作为叶子结点，以w1,w2,...,wn作为相应叶子结点的权值来构造一棵赫夫曼树。规定：赫夫曼树的左分支代表0，右分支代表1，则从根结点到叶子结点所经过的路径分支组成的0和1的序列便为该结点对应字符的编码，这就是赫夫曼编码。

编码之后的二进制数据流为“001000011010000011101100100011”，对方接收时同样按照3位一组解码。现在假设这6个字母出现的频率不同，A 27%，B %8，C 15%，D 15%，E 30%，F 5%。下面将27、8、15、15、30、5分别作为A、B、C、D、E、F的权值构造赫夫曼树，如下图：

将该图(图B)中赫夫曼树的权值左分支改为0，右分支改为1，如下图C：

现在将这6个字母用从根节点到叶子所经过路径的0或1来编码，得到的编码表如下：

将“BADCADFEED”再次编码得到“1001010010101001000111100”，共25个字符，与之前编码得到的30个字符相比大约节约了17%的存储和传输成本。 

在解码时，用同样的赫夫曼树，即发送方和接收方约定好同样的赫夫曼编码规则。当接收方接收到“1001010010101001000111100”时，比对图C中的赫夫曼树，由1001正好走到字母B，如下图：

然后是01，则从根结点走到字母A，如下图：

    其余的字母也可相应成功解码。