11.二叉树基本理论

时间：2015-03-20 01:25:05 阅读：181 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

标签：数据结构

一、二叉树基本概念

1.定义

二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(或称空二叉树)，或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

2.二叉树特点

(1)每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点;

(2)左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒;

(3)即使树中某节点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

另外，二叉树具有五种基本形态：

a.空二叉树;b.只有一个根结点;c.根结点只有左子树;d.根结点只有右子树;e.根结点既有左子树又有右子树

3.特殊的二叉树

(1)斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树称为左斜树;所有结点都是只有右子树的二叉树称为右斜树。特点：每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。

(2)满二叉树：在一颗二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树特点：a)所有的叶子只能出现在最下一层且处于同一层;

b)非叶子结点的度一定是2;

c)在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

(3)完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1=<i<=n)的结点与同样深度的满二叉树编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树。

完全二叉树特点：a)叶子结点只能出现在最下两层;

b)最下层的叶子一定出现在左部连续位置;

c)倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置;

d)如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况;

e)同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

总之：满二叉树一定是一颗完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。在判别是否为二叉树时，我们只需给每个结点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现了空档，就说明该树不是完全二叉树，都在就是。

二、二叉树的性质

1.性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1).

分析：计算二叉树某一层的结点数。这里的"至多"指的是，当该二叉树为满二叉树时，由数学归纳法论证可知，第i层有最多可以有2^(i-1)个结点。

2.性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)

分析：计算二叉树结点总数。这里"深度为k"指有k层的二叉树，当该二叉树为满二叉树时，由数学归纳法论证可知，该二叉树至多有2^k-1个结点。

3.性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则no=n2+1.

分析：一颗二叉树主要有n0个度为0的叶子结点、n1个度为1的结点、n2个度为2的结点组成。因此，该二叉树的结点总数n=n0+n1+n2(方程1).从二叉树中连接线数可知，由于根结点只有分支出去，没有分支进入，所有分支线总数减去1，即二叉树分支线总数=n-1=n1+2n2(方程2)(其中n1为度为1的结点数、n2为度为2的结点数)。联立方程得：n0=n2+1.

4.性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2^n」+1 (「x」表示不大于x的最大整数)。

分析：由性质2我们可以知道，深度为k的满二叉树的结点数n=2^k-1。由其倒推得到满二叉树的度数为k=log2^(n+1)。由于完全二叉树是满二叉树的一个子集，它的结点数一定少于等于同样度数的满二叉树的结点数2^k-1，但一定多于2^(k-1)-1。即满足2^(k-1)-1<n<2^k-1.

由于结点数n是整数，n<2^k-1=<2^k且n>2^(k-1)-1>=2^(k-1),所以2^(k-1)<n<2^k,再不等式两边取对数，得到k-1=<log2^n<k,而k作为度数也是整数，因此k=「log2^n」+1.

5.性质5：如果对一颗有n个结点的完全二叉树(其深度为「log2^n」+1)的结点按层序编号(从第1层到第「log2^n」+1

层，每层从左到右)，对任一结点i(1=<i<=n)有：技术分享