描述

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值；
2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；
3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。

分析

• 第一问快速幂

• 第二问线性模方程. x = z * inv(y) (mod p), 求逆元可以用费马小定理.

  $$y^{p-1} ≡ 1 (mod p)$$ $$y * y^{p-2} = y^{p-1} ≡ 1 (mod p)$$
  如果y和p不互质无解.

• 重点是第三问吧, BSGS. 离散对数算法.
  设 x = km + i =>
  

  $$y^{km + i} = y^{km} * y^i≡ z(mod p)$$
  $$=>y^i ≡ z * (y^{km})^{-1}(mod p)$$
  $$=>y^i ≡ z * (y^{(k-1)m})^{-1} *(y^m)^{-1}(mod p)$$
  $$=>y^i ≡ z * (y^{(k-1)m})^{-1} *y^{p-1-m}(mod p)$$

• 预处理出y^i, 存到map的哈希表里. 然后取m = sqrt(p), 枚举k, 找到最小的k使得上式成立, 则 x = km+i.

代码

https://code.csdn.net/snippets/623705