1. 导数的几何意义

函数$f(x)$在点$P$的导数定义为$P$点在函数曲线上的该点切线的斜率。但是如何来准确的求出曲线在该点的切线呢。

有两点要注意：

• 切线并不是只与曲线只有一个交点的线
• 它是曲线上另一点逐渐靠近$P$点时，形成的割线斜率的极限。

所以导数的几何定义即为：

Limit of slopes of secant lines $PQ$ as $Q\to P$($P$ fixed). The slope of $\overline{PQ}$:

在我们知道了曲线的导数$f‘(x)$后，我们可以求得点$P(x_0,y_0)$处的切线方程为：

$$y-y_0 = f‘(x)(x-x_0)$$

一些记号

由于$y=f(x)$，所以我们记：

$$\Delta y = \Delta f=f(x)-f(x_0)=f(x+\Delta x)-f(x_0)$$

差分商的公式可以记为：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

当我们取极限$\Delta x\to 0$时，我们得到

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} \to \frac{dy}{dx}(\text{Leibniz‘ notation})$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x} \to f‘(x_0)(\text{Newton‘s notation})$$

当我们谈及函数$f$的导数时，下面的记号是等价的：

$$\frac{df}{fx},f‘,and \ Df$$

例：用极限的方法求$x^n$的导数

$$\frac{d}{dx}x^n = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^n+C_1^nx^{n-1}(\Delta x)+O(\Delta x^2)-x^n}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{C_1^nx^{n-1}(\Delta x)+O(\Delta x^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}(C_1^nx^{n-1}+O(\Delta x))=nx^{n-1}$$

2. 导数的物理解释

当我们把导数定义为变化率时就得到了导数的物理意义，比如速度。

MIT的孩子们有一个从楼顶往下扔南瓜的传统，我们假设高度为400M。
南瓜离地面的高度随着时间变化而变化，这个关系可以用下面的函数表示：

$$y=400-16t^2$$

从上面的关系中，我们首先可以计算南瓜的平均速度：

$$\bar{v} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\text{distance travelled}}{\text{time elapsed}}$$

我们可以知道当南瓜着地的时候$y=400-16t^2=0$，此时$t=5$，那么平均速度$\bar{v} = \frac{400 m}{5\text{sec}}=80m/s$

而实际上我们更关心的是它的瞬时速度，比如南瓜落地时的速度，因为如果速度过快可能会砸死小朋友！
$t=5$时的瞬时速度为$y‘$:

$$y‘=-32t=-160\ \text{m/s}$$
$y$是负的因为南瓜的速度向下增长的（不是因为速度方向向下）。

3. 变化率(rate of change)

物理中很多物理量有变化率定义：

• 电荷的变化率（$\frac{dq}{dt}$）为电流
• 距离的变化率（$\frac{ds}{dt}$）为速度
• 温度的变化率（$\frac{dT}{dt}$）为温度梯度