1. 极限

简单的极限，我们可以通过直接代入法求解，如：

$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2+x}{x+1} = 3$$

我们知道我们在利用极限求导数时：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
如果直接用代入法的话，会出现分母为0的情况。

2. 连续

连续的定义：

We say $f(x)$ is continuous at $x_0$ when

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

四类不连续点

1. Removable Discontinuity

Right-hand limit: $\lim_{x\to x_0^+f(x)}$ means $\lim_{x\to x_0}f(x)$ for $x>x_0$.
Left-hand limit: $\lim_{x\to x_0^-f(x)}$ means $\lim_{x\to x_0}f(x)$ for $x<x_0$.

If $\lim_{x\to x_0^+}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x)$$but this is not$f(x_0)$, or if$f(x_0)$ is undefined, we say the discontinuity is removable.

比如说$\frac{\sin x}{x},x\neq 0$。

2. Jump Discontinuity

$\lim_{x\to x_0^+}$ for($x<x_0$) exists, and $\lim_{x\to x_0^-}$ for($x>x_0$)also exists, but they are NOT equal.

3. Infinite Discontinuity

Right-hand limit: $\lim_{x\to 0^+\frac{1}{x}}=\infty$
Left-hand limit: $\lim_{x\to 0^-\frac{1}{x}}=-\infty$

4. Other(Ugly) discontinuity

This function doesn’t even go to$\pm\infty$ — it doesn’t make sense to say it goes to anything. For something like this, we say the limit does not exist.

3. 两个三角函数的极限

注意下面的表达式中$\theta$代表弧度，而不是角度。

$$\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1;$$
$$\lim_{\theta\to0}\frac{1-\cos\theta}{\theta}=0;$$

几何证明：

当上图中的角度$\theta$变得非常小的时候，我们可以看出半弦长($\sin\theta$)越来越接近半弧长($\theta$)。

从上图中可以看出当角度变得越来越小时，$1-\cos\theta$相对于$\theta$来显得越来越小。

4. 定理：可微则一定连续

If $f$ is differentiable at $x_0$, then $f$ is continuous at $x_0$.

Proof:

$$\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right](x-x_0)=f‘(x_0)\cdot 0=0$$