LCS问题——动态规划

简述： LCS问题，即最长公共子序列问题，给定两个序列X={x1, x2, …, xm}和Y={y1, y2, …, yn}，求X、Y最长的公共子序列。与LIS类似，LCS也是可以不连续的。

解题思路：本人觉得在这个问题上算法导论讲的很好，所以在此我主要是整理。
1、首先我们来考虑暴力搜索求解的方法，我们要暴力枚举X的所有子序列，然后再看看是不是也是Y的子序列，这样的方法，显然时间复杂度是指数级的，所以并不可取，但是，我们是否能从中看到些什么呢？
2、我们来看看LCS是不是具有最优子结构：
之前说的暴力求解，在程序中怎么表达呢？考虑一个序列Z={z1, z2, …, zk}，他是X、Y的一个LCS序列：
如果xm==yn，就意味着xm肯定在Z序列里，而且是zk；
如果xm!=yn，那么说明xm和yn至多有一个在Z里面，所以这里X、Y的LCS就有两种可能性：X(1…m-1)与Y(1…n)的LCS和X(1…m)与Y(1…n-1)的LCS；
于是有最优子结构！
3、从上面就可以看出来了，没错，就是深搜！但是，太慢了。所以，记忆化一下就行了！

于是……用dp[i][j]表示X(1…i)和Y(1…j)的LCS，那么有状态转移方程：

    if(x[i]==y[j])
        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
    else
        dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

完整代码：（可以用POJ_1458测试一下）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int m,n,x[1005],y[1005],ans,dp[1005][1005];
char st1[1005],st2[1005];

int main()
{
    while(~scanf("%s %s",st1,st2))
    {
        m=strlen(st1),n=strlen(st2);
        for(int i=0;i<m;i++)
            x[i+1]=st1[i];
        for(int i=0;i<n;i++)
            y[i+1]=st2[i];

        ans=0;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(x[i]==y[j])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[m][n]);
    }

    return 0;
}

总结：
1、之前一直不知道LCS是啥，今天算是了解了一下；
2、果然深搜是王道啊！