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尝试为场加入PD控制
在之前的模拟中，需要最小化一个能量函数H。
这样做的原因是，由理想约束的特性（约束反力垂直于虚位移），对于不含体积蒙皮的情况，可以推出
对于表面点，有
J^T * Σfs = 0
对于内部点，有
Σfn = 0
而对于体积蒙皮的情况，
对于表面点，仍有
J^T * Σfs = 0
对于内部点，有
J^T * W^T * fn = 0
其中W为蒙皮权重矩阵
综合两种情况，可以发现，这些力平衡情况都同H函数对内部点n、对参数p的导数等于零是等价的。
不含体积蒙皮的情况，dH/dp = J^T * Σfs
含体积蒙皮的情况， dH/dp = J^T * (Σfs + W^T * Σfn)
等式后一项有一个专门的名称，叫广义力，实际上就是普通力在参数空间的投影
现在控制的方法十分简单，就是加一项广义控制力fc
fc = kp*(p‘ - p) + kd*(dp‘/dt - dp/dt), 其中p‘是期望的参数值，p为实际参数值，kp，kd为控制增益，都为对角矩阵
于是新的总广义力为
dH1/dp = dH/dp + fc
H1 = H + fc^T * p
现时有两种施加控制的方法，一种是在每一帧求解之前预先算出控制力，且在求解过程中保持控制力不变，称为显式控制；另一种是把控制力表示成求解状态的函数，在求解过程中不断更新，称为隐式控制。
隐式控制的稳定性比显式控制好。
使用隐式控制时，令
dp/dt = (pn+1-pn)/h，其中pn+1是待求解的本帧参数值，pn为上一帧参数值
需要求出fc对位置的导数
dfc/dpn+1 = -(kp + kd/h)
把这一项加入Hessian的计算即可
以下是当前对一条棍子的控制结果
目标控制曲线如下：
实际控制曲线如下。曲线逐渐变形的原因是控制增益被逐步降低了。
实现PD控制
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原文地址：http://www.cnblogs.com/dydx/p/4374722.html
