从1到n的数中总共包含1的个数

标签：递归

1. 题目

求从1到n的数中，总共包含了多少个1

2. 分析

令X=x₁x₂…x_m为1到n之间的一个整数，显然X为一个m位的整数。例如X=21345时，对应x₁=2，x₂=1，x₃=3，x₂=4，x₃=5。题目求解过程如下：

(1) 将X分成0~X₁与X₁+1~X两部分，其中X₁=x₂…x_m。若此时X只有一位则X₁=0，实际实现时用字符串表示数字X，当X只有一位时移至字符串末尾’\0’。

(2) 第二部分X₁+1~X分为3种情况求解：

a) x₁ > 1，

a_1) 最高位为1的共p₁=10^m-1次；

a_2) 其它低位为1共p₂=x₁*(m-1)*10^m-2，这里需要注意的是1的次数不可能出现小数，因此当m-2<0是需要定义10^m-2=1。

b) x₁=1，

b_1) 最高位是1的共p₁=X₁+1次(注意这里不是x₁)；

b_2) 其它低位为1的共p₂=x₁*(m-1)*10^m-2，这里需要注意的是1的次数不可能出现小数，因此当m-2<0是需要定义10^m-2=1。

c) x₁=0，对应a)、b)有p₁=p₂=0。

(3) 令X=X₁，若X的位数大于1则递归执行(1)(2)；反之运行结束。

以上求解过程中重在理解a_2)中p₂的计算，参考理解思路：

(1) 将第二部分分为[x_jx₂…x_m, (x_j+1)x₂…x_m]共x₁个区间，其中0≤x_j≤x_j + 1 ≤x₁。

(2) 对于每个区间在非最高位任意位置选择一个位置放1，共m-1种。

(3) 任意位置放置1后，其它m-2个位置可以任意放置0~9，共10^m-2种。

综上，p₂=x₁*(m-1)*10^m-2。

对于b_2)的理解与a_2)相似。

3. 参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

int powerBase10(int n)
{
	int result = 1;
	if (n > 0)
	{
		for (unsigned int i = 0; i < n; ++i)
		{
			result *= 10;
		}
	}
	
	return result;
}

int numberOf1(const char *strN)
{
	if (!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0')
	{
		return 0;
	}
	int first = *strN - '0';
	unsigned int length = strlen(strN);

	int numFirstPart = 0;
	if (first > 1)
	{
		numFirstPart = powerBase10(length - 1);
	}
	else if (1 == first)
	{
		numFirstPart = atoi(strN + 1) + 1;
	}
	int numSecondPart = first * (length - 1) * powerBase10(length - 2);
	return numFirstPart + numSecondPart + numberOf1(strN + 1);
}

int numberBetween1AndN(int n)
{
	if (n <= 0)
	{
		return 0;
	}
	char strN[50];
	sprintf(strN, "%d", n);
	return numberOf1(strN);
}
int main()
{
	int n = 50;
	cout << numberBetween1AndN(n) << endl;
	return 1;
}

从1到n的数中总共包含1的个数

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原文地址：http://blog.csdn.net/woniu317/article/details/44758339