基础的数论知识

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1） 素数

Theorem 素数有无限多个

Proof. 若存在最大素数P_max ， 设 X = （P_1 * P_2 …… * P_max） + 1，此时如果X为素数， 则X > P_max， 矛盾， 如果X为合数， 则必存在它的一个素因子 P_X 且 P_X > P_max， 矛盾。

Theorem

显然是在越大的范围内分布得越稀疏的。

素数的判定

暴力的方法即枚举每个小于n的数位约数， 简单的优化即 枚举 2~sqrt(n) 的所有质数。

由于一些伪素数令费马小定理的逆定理不成立， 而去背一张伪素数表又不是很优美， miller-rabin 算法随之产生。

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强伪素数
设n是一个大于4的奇整数，s和t是使得(n-1)=2^s*t的正整数，其中t为奇数，设B(n)是如下定义的整数集合：
a属于集合B(n)当且仅当2≤a≤n-2且

1: a^tmodn=1
2: 存在整数i，0<=i<s满足a^((2^i)*t) mod n=n-1
当n为素数时， 任意a在2和n-1中，均有a属于集合B(n)
当n为合数时，若a属于集合B(n)，则称n为一个以a为底(基)的强伪素数，称a为n素性的强伪证据。
n为素数，说明它对所有底均为强伪素数

Btest(a，n){
//n为奇数，返回true。即返回真说明n是强伪素数
   s←0； t ←n-1； //t开始为偶数
     repeat
         s++；t ← t÷2；
   until t mod 2 = 1； //n-1=2st     t为奇数
          x ←at mod n；
   if x=1 or x=n-1 then return true；    //满足①or②。
   for i ←1 to s-1 do{
         x ←x2 mod n；
         if x=n-1 then return true； //满足②，
   }
   return false；}

通过这一定义则发现,小于1000的奇合数中，随机选到一个强伪证据的概率小于1%
更重要的是，对任一奇合数，强伪证据比例都很小
所以,我们可以多次运行下面的算法,就可把错误概率降低我们可控制的范围

MillRab(n) { //奇n>4，返回真时表示素数，假表示合数
a←uniform(2..n-2);
return Btest(a,n);   //测试n是否为强伪素数
}//该算法是3/4-正确，偏假的。

RepeatMillRob(n,k){
      for i ←1 to k do
    if MillRob(n) =false then
     return false; //一定是合数
    return true；
}

虽然miller-rabin 是一个随机性算法， 但是取前9个素数就可以保证在 10^18范围内的正确性了。

代码很简单

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int t, prim[15] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
ll u;
ll mypow(ll x, ll k, ll mod){
	ll ret = 1;
	while(k){
		if(k & 1) (ret *= x) %= mod;
		(x *= x) %= mod;
		k >>= 1;
	}return ret;
}
bool MR(ll a, ll n){
	if(a >= n) return 1;
	ll w = mypow(a, u, n);
	if(w == 1) return 1;
	for(int i = 0; i < t; i ++){
		if(w == n - 1) return 1;
		(w *= w) %= n;
	} return 0;
}
bool pd(ll n){
	if(n == 2) return 1;
	if(n < 2 || (!(n & 1))) return 0;
	t = 0; u = n - 1;
	while((u & 1) == 0) u >>= 1, t ++;
	for(int i = 1; i <= 9; i ++) if(!MR(prim[i], n)) return 0;
	return 1;
}
int main(){
	int N; 
	while(scanf("%d", &N) != EOF){
		int cnt = 0;
		for(int i = 1; i <= N; i ++){
			ll x; scanf("%I64d", &x);
			if(pd(x)) cnt ++;
		}
		printf("%d\n", cnt);
	}
	return 0;
}

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原文地址：http://www.cnblogs.com/lixintong911/p/4380039.html