BZOJ-2326-数学作业-HNOI2011-矩阵乘法

标签：矩阵乘法

描述

分析

• 如果用 f[i] 表示 i 时 Concatenate(1 .. i) Mod M 的值, 如果 i 是个 k 位数, 则 f[i+1] = f[i] * (10^k) + i+1, (i != 10^k-1)
• 所以可以建立一个按 i 的位数分段的动态规划解法 -> f[n]
• n ≤ 10^18, 所以要用矩阵乘法优化
• 然后就是矩阵的选取了, 我首先考虑的 2×2 的矩阵能不能解决, 发现不能于是看了一下 HZWER 开的数组大小是4, 所以应该是 3×3 的矩阵了.
• 之所以 2×2 的友矩阵不能解决是因为 如果把矩阵 {f[i], i} 设为求解的矩阵, 那么无论乘哪个 2×2 的友矩阵都不能在转移到 f[i+1] 时使第二列的 i 也加1
• 那么用 3×3 的友矩阵, 求解的矩阵 {f[i], i, x}. 这个 i 要想每次加1, 只能依靠这个 x 乘上友矩阵的 a[2][2] (从0开始的下标) 所代表的数. 所以把x和a[2][2]都设置成1就可以使i每次加1了.

• 关于矩阵的其他元素.
• 我的思路是第一次求 f[0], 乘10次之后得到 f[9], 然后进入下一层. 根据转移的方程可以得到友矩阵是 {{k, 0, 0}, {1, 1, 0}, {0, 1, 1}}, 其中k是方程中的 10^k. 这样每次乘完之后得到的是 {f[i+1], i+2, 1}. 然后我看HZWER的思路中的友矩阵是 {{k, 0, 0}, {1, 1, 0}, {1, 1, 1}}, 这样每次得到的是 {f[i+1], i+1, 1}.
• 其实两种思路都可以得到最终解.
• 当转移到下一阶段时, k要×10, 之后友矩阵自乘的次数是 k-k/10. 因为举个例子从 f[10^m-1]转移到f[10^(m+1)-1]实际上转移了10^m-10^(m-1)次.

• 但是按照我的思路, 在k=10的时候 10-10/10 = 9, 但实际上要转移10次, 所以程序开始要先单独处理k=10, 然后循环 k = 100 to ..
• 当 k > n 之后还需要继续转移的次数是 n-k/10+1 次.
• long long 和 快速乘 都是需要的.

BZOJ-2326-数学作业-HNOI2011-矩阵乘法

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原文地址：http://blog.csdn.net/qq_21110267/article/details/44809755