博弈论学习笔记（九）合作、突变与平衡

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变异问题

在一个动物群体中，每一个个体都采用策略A，但是混入了少量的个体B，他们采用策略B，他们占的比例是ε。

这个问题有一点不同的是原始种群始终采用策略A，变异种群始终采用策略B。
所以种群A的收益为2*(1-ε)+0*ε=2-2*ε
    种群B的收益为3*(1-ε)+1*ε=3-2*ε
所以种群B的收益 - 种群A的收益 = 1 > 0
所以A种群会逐渐被B种群替代，不具有进化稳定性。

进化稳定性

定义1（源自生物学的一个定义）：
在一个双参与人的对称博弈中，纯策略S*是进化稳定策略（ES）当且仅当：
    1-ε的概率下S*对S*的概率 + ε的概率下S*对S‘的收益 > 1-ε的概率下S‘对S*的概率 + ε的概率下S’对S‘的收益
    对任意S‘都成立,对于任意ε < ε`都成立。
定义2（经济学的定义）：
在一个双参与人的对称博弈中，纯策略S*是进化稳定策略（ES）当且满足一下两个条件：
    条件1：（S*，S*）是纳什均衡，即（S*，S*）是对称纳什均衡
        注：（S*,S*）是对称纳什均衡，指的是S*对S*的收益要不小于任意S‘对S*的收益
    条件2：如果上面的不等式取等号时，即S*对S*的收益等于S‘对S*的收益时，那么S*对S‘的收益一定要大于S‘对S‘的收益。
简要地说，就是：
    如果一个个体是进化稳定个体，那么他对于变异的个体一定是优势个体；
    如果只是弱优势个体，那么他的收益必须必变异个体高。
我们规定一个存在的策略S*，假设（S*,S*）是纳什均衡，证明S*是进化稳定策略。
证明：
    这里存在两种可能性，分别为：
    条件1情况下，对任意S‘，U(S*,S*) > U(S*,S‘)。这种情况下S‘会灭亡，一位这种情况下他们总是遇到S*而获得相对较少的收益。
    条件2情况下，U(S*,S*) = U(S‘,S*)，但是有较小的概率会出现S*或S‘与S‘配对的情况，此时U(S*,S‘) > U(S‘,S‘)。S‘会逐渐灭绝，因为这种情况下当变种S‘遇到自己的同类时S‘会得到较小的收益。

博弈论学习笔记（九）合作、突变与平衡

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原文地址：http://www.cnblogs.com/junealan/p/4385577.html