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刷完了一张代数
P1
计算 $\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}- \frac{1}{2012}\right) \div \left( \frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+...+frac{1}{2012}\right)$
这题分隔序列错位相减.
设
S1 = 1+1/3+1/5+1/7+1/9+...+1/2011
S2 = -1/2-1/4-1/6-1/8-...-1/2012
= 1/2+1/4+1/6+...+1/2012-(1+1/2+1/3+1/4+...+1/1006)
于是设
SA = 1/2+1/4+...+1/2012
SB = 1+1/2+1/3+...+1/1006
那么分号以上的序列为
S1 + SA - SB
S1 + SA = 1+1/2+1/3+1/4+...+1/2012
再减去 SB 可得
S1 + SA - SB = 1/1007+1/1008+...+1/2012
对比分母可知原式答案为1
P2
计算
\[ \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} \]
这题比较简单.
观察可知(sqrt(5)-1)/2是AC这条,其平方是AD这条,互相成黄金分隔,那么它们的差DC即是AC^3,开了三次方根刚好是AC.
P3 对于任何$x,y,z\in \mathbb{R}$,定义运算`$\otimes$`为
\[ x \otimes y = \frac{ 3x^3y+3x^2y^2+xy^3+45 }{ (x+1)^3+(y+1)^3-60 }\]
此运算从左到右结合,即$(x\otimes y\otimes z=(x\otimes y)\otimes z)$
求
\[2013\otimes 2012\otimes 2011\otimes ...\otimes 3\otimes 2\]
这题比较良心orz.
仍然祭出观察大法.
注意到对于任何$x\otimes 3$,都有$x\otimes 3=9$
那么只需要求出$9\otimes 2=\frac{5463}{967}$即可.
P4 已知
\[ x-y=6,\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=9\]
求$\sqrt{x^2-xy}-\sqrt{xy-y^2}$的值.
这题傻逼题,一眼秒.
观察一下已知与未知的关系,我们显然可以套用平方差公式.
\[ \left( \sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=9\right) \left( \sqrt{x^2-xy}-\sqrt{xy-y^2}\right) = (x-y)^2 = 36 \]
那么原式就为$36\div 9=4$.
P5 设$abc=1$,求$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$的值.
这道题很有意思.
不妨设
a = 1/x
那么
bc = x
因此
b=x/c
带入原式得
原式$=\frac { \frac { 1 }{ x } }{ \frac { 1 }{ c } + \frac{1}{x}+1}+\frac{\frac{x}{c}}{x+\frac{x}{c}+1}+\frac{c}{\frac{c}{x}+x+1}$
对分子通分,乘上去可得
原式$=\frac { c }{ c+x+1 } +\frac { x }{ c+x+1 } +\frac { 1 }{ c+x+1 } $
这它喵是个shenmegui?!
不就是传说中的大名鼎鼎的$1$嘛.
P6 已知$x,y,z\in \mathbb{R},\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1$,求$\frac { x^2 }{ y+z } +\frac { y^2 }{ x+z } +\frac { z^2 }{ x+y } =1$的值.
这道题非常非常有意思.
这题的标解是乱搞.
我们对第一个式子进行通分,等式两端乘上分子,乱搞一通消去两端相同的项,惊讶的发现...
\[-xyz=x^3+y^3+z^3\]
好玩耶!(有兴趣的读者可以自己化化看)
对所求的式子通分,基本和上面的差不多.
问题就是这个通分的式子,不可做,怎么办!!!
我们将它整理一下.
(以下步骤只写分母)
$x^{ 4 }\quad +\quad x^{ 3 }y\quad +\quad x^{ 2 }yz\quad +\quad xy^{ 3 }\quad +\quad y^{ 4 }\quad +\quad y^{ 3 }z\quad +\quad xy^{ 2 }z\quad +\quad z^{ 2 }xy\quad +\quad z^{ 4 }\quad +\quad z^{ 3 }y\quad +\quad xz^{ 3 }$
=
$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x+\left( x+y+z\right)xyz$
=
$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x+\left( x+y+z\right) \left( -x^3-y^3-z^3\right)$
=
$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x-\left( x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x\right)$
=
$0$
是不是很有趣
尼萌随意感受下...
P7
这道题真的非常有趣.
窝萌积到$\left( x^2-x-2\right)^6$是一个十二次多项式.我们记它为
\[a_{12}x^{12}+a_{11}x^{11}+a_{10}x^{10}+...+a_1x+a_0\]
那么我们要求的是
\[a_{12}+a_{10}+a_8+a_6+a_4+a_2\]
我当时觉得要醛基插值的...
然后看了后面这个数列233了.
我当时还YY了一个无需快速幂的多项式乘方算法23333.
我们将函数记为$f\left( x\right)$.
记
\[\begin{array}{lll} S_1 = f ( 1) & & \mathtt{(1)}\S_2 = f ( 0) & & \mathtt{(2)}\S_3 = f ( - 1) & & \mathtt{(3)} \end{array}\]
那么可知
$f(1)=a_{12}+a_{11}+a_{10}+...+a_1+a_0=64$
$f(0)=a_0=64$
$f(-1)=a_{ 12 }-a_{ 11 }+a_{ 10 }-...-a_{ 1 }+a_{ 0 }=0$
手玩出来原式=
$\frac{f(1)-2f(0)+f(-1)}{2}=-32$
很有趣啊^ ^(hey that polynomial,贵圈真乱)
P8
分解因式
\[x^2-2x-2y^2+4y-xy\]
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原文地址：http://www.cnblogs.com/tmzbot/p/4390995.html
