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在证明这些定理之前先证明一个有意思的定理。
对于0 mod m,n mod m , 2n mod m, 3n mod m, 4n mod m... (m-1)n mod m
对应解集序列 一定有 m/d份 0 d 2d 3d..m-d. (不一定按照顺序) 这样的解。 其中d = gcd(n,m)
具体点：n=8,m=12. d = gcd(n,m)=4
对于 0 mod 12,8 mod 12,16 mod 12,24 mod 12,32 mod 12,40 mod 12...88 mod 12.
对应解 0 8 4 0 8 4 ..... 4
可见结论应该是对的。
证明:
费马小定理：
n^p-1 ≡ 1 (mod p) -> n^p-1 mod p = 1. 其中n和p互素。
证明：
我们可以构造 p-1个 n mod p,2n mod p,3n mod p ...(p-1)n mod p
根据同余运算(把余数转成同余式子)：
那么就有 (p-1)! n^(p-1) ≡ (p-1)! (mod p)
其中 (p-1)!不能整除p 所以式子变成 n^(p-1) ≡ (mod p),得证。
又可以在两边均乘n. n^p ≡ n (mod p)
这里有一个思维小插曲:
考虑下面这个证明:
由于n和p互素.所以有n ≡ 1(mod p).根据同余定理 n^(p-1) ≡ 1^(p-1) (mod p) -> n^(p-1) ≡ (mod p),得证。
简单明了。可这是错的。因为前提就错了。由于n和p互素.不一定有n ≡ 1(mod p)
只能说 由于n和p互素,存在kn ≡ 1(mod p) (k|1,2,3..p-1) (根据上述定理)
举例 n=2 p=5 .有3n mod p = 1.而 n mod p = 2.
欧拉函数：
作用：输入n,你想知道1~n中有多少个数和n是互素的吗?
这就是欧拉函数的一个作用。而且还能让扩展费马小定理。算质因子之和
欧拉函数记为φ函数也就是说φ(1) = 1,φ(2)=1,φ(3)=2...
对于φ(n).
如果n为素数,即φ(n) = n-1.
如果n为合数,即φ(n) < n-1.
显然这对于应用还是不够的。我们当然想要能够输入n就可能获得具体结果,而不单只是范围.
对于这个问题：我们可以接下来的证明中解决该问题并且发现新的东西。
如果说m是一个素数幂p^k (比如2^3).φ(p^k)还是可以计算的。
对于1~p^k -1中有多少个和p^k互素呢?
那我们可以先找什么数中没有p因子.
那么可以找有p因子的数。然后总个数减去和p^k非互素的数。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Milkor/p/4393489.html
