计算机科学及编程导论（5）浮点数和二分法

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1. Python的数字类型

Python的数字类型分为两类：整型（int）以及浮点型（float）。

对于Python来说，整型可以取无限大。

Python的整型可以取任意精度

例如，可以输入2**1000次方，仍然会返回正确结果。

Python的浮点类型按照IEE754标准，对于64位的计算机而言，表示成如下方式

1位：符号位

11位：指数位

52位：尾数位

这样总共可以表示17位长的精度，如果超过17位，Python就无法处理，比如 0.1**1000次方.

在教学视频中，如果输入 x = 0.1，那么最终打印的值则是0.10000000000000001。原因很简单，因计算机处理数字的方式是二进制，而0.1的二进制则是0.0001100110011...，这样转换过程中就会出现误差（新版的python可能对结果进行了处理再显示，所以显示出来仍为0.1）。比如下面程序对s进行累加，每次累加0.1

s = 0.1
for i in range(100):
    s += 0.1   #=>10.09999999999998

由于误差的积累，最后一位变成了8. 

误差的存在，使得浮点型在进行 == 判断的操作时，经常出现违背直觉的结果：

import math
a = math.sqrt(2)
a*a == 2   #=>False

所以，对于浮点型来说，我们不需要去判断结果是否相等，而是要判断结果是否小于某个允许的误差值：

abs(a*a - 2.0) < 某个极小的正数

2. 用二分法求平方根

之前已经学习过求X的平方根，不过X被假定为开平方后为整数，所以就可以从0开始进行枚举。现在，考虑更为一般的形式，X开方后不一定为确定的数，由于在实数范围内无法进行一一的枚举，所以要采用其他方法来求解。

基本的解题思路是逐次逼近法，即每一次让结果逼近正确答案一点，也就是说，采取猜想-》检查-》改进的过程：

guess = initial guess

迭代100次：

　　如果  f（guess）接近正确答案：返回guess

      否则：令 guess = better guess

如果无返回值，则报错

 而要判断f（guess）是否接近正确答案很简单，只需要进行验证即可：abs(guess**2 -x) < 某个极小的正数

#二分法求平方根
#epsilon：极小的正数 ctr：迭代次数
def squareRootBi1(x,epsilon):
    assert epsilon > 0,‘epsilon must be postive,not‘ + str(epsilon)
    low = 0
    high = x
    guess = (low + high)/2.0
    ctr = 1
    while abs(guess**2 -x) > epsilon and ctr <= 100:
        if guess**2 < x:
            low = guess
        else:
            high = guess
        guess = (low +high)/2.0
        ctr += 1
    assert ctr <= 100,‘Iteration count exceeded‘
    print(‘Bi method.Num.iterations:‘,ctr,‘Estimate:‘,guess)
    return guess

assert语句相当于将调试的断点插入到程序中，比如，如果输入的epsilon的值为-1，则会显示如下错误：

File "/Users/ihuangmx/程序/Python/Untitled.py", line 2, in squareRootBi
assert epsilon > 0,‘epsilon must be postive,not‘ + str(epsilon)
AssertionError: epsilon must be postive,not-1

 上面的程序还存在Bug，下一讲会进行完善。

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计算机科学及编程导论（5）浮点数和二分法

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原文地址：http://www.cnblogs.com/ihuangmx/p/3771316.html