数学基础：矩阵

矩阵的概念：

数学上，一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

如下是一个m×n的矩阵（m行n列）：

$$A_{m×n}=(a_{ij})= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\ \end{pmatrix}$$

同型矩阵：

如果，矩阵$A_{m×n}$和矩阵$B_{m×n}$都是m×n的矩阵，则这两个矩阵为同型矩阵。

矩阵相等：

如果矩阵$A_{m×n}$和矩阵$B_{m×n}$互为同型矩阵，并且对应元素相等$a_{ij}$=$b_{ij}$。则两个矩阵相等。

行向量与列向量：

行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成：

$$α=（a_1, a_2,\cdots,a_n）= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}\ \end{bmatrix}$$
列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成。（列向量的转置是一个行向量，反之亦然）：
$$β=α^T=（a_1, a_2,\cdots,a_n）^T= \begin{bmatrix} a_{1} \ a_{2} \ \vdots \ a_{n}\ \end{bmatrix}$$

方阵（n阶矩阵）：

n行n列的矩阵是一个方阵，也叫做n阶矩阵，如$A_{n}$：

$$A_{n×n}=(a_{ij})= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \end{pmatrix}$$

零矩阵：

所有元素都是0的矩阵。

单位矩阵（E）：

主对角元素为1，其他元素为0的方阵是单位矩阵，如$E_n$：

$$E_{n}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\ 0 & 1& \cdots & 0\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1\ \end{pmatrix}$$

数量矩阵（kE）：

主对角元素为K，其他元素为0的方阵是数量矩阵（就是一个数乘以一个单位矩阵），如$kE_n$：

$$E_{n}= \begin{pmatrix} k & 0 & \cdots & 0\ 0 & k& \cdots & 0\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & k\ \end{pmatrix}$$

对角矩阵：

主对角是非零元素但未必相同，其他元素为0的方阵是对角矩阵，如$λ_{n}$：

$$λ_{n}= \begin{pmatrix} λ_{1} & 0 & \cdots & 0\ 0 & λ_{2}& \cdots & 0\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & λ_{n}\ \end{pmatrix}$$

矩阵的计算：

矩阵相加：

在同型矩阵中。两个m×n矩阵A和B的和，标记为A+B，得到的仍一是个m×n矩阵，其内的各元素为其相对应元素相加后的值。例如：

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \ 1 & 0 \ 1 & 2 \ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 7 & 5 \ 2 & 1 \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 \ 1+7 & 0+5 \ 1+2 & 2+1 \ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 8 & 5 \ 3 & 3 \ \end{bmatrix}$$

矩阵相减：

A-B内的各元素为其相对应元素相减后的值：

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \ 1 & 0 \ 1 & 2 \ \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 7 & 5 \ 2 & 1 \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-0 & 3-0 \ 1-7 & 0-5 \ 1-2 & 2-1 \ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 3 \ -6 & -5 \ -1 & 1 \ \end{bmatrix}$$

矩阵相乘：

当矩阵A的列数和矩阵B的行数相等时才有意义。
如$A_{m×n}$，$B_{n×p}$，因为A的列（n）和B的行（n）相同，所以他们可以相乘，它们的乘积为$AB_{m×p}$;

例如$A_{2×3}$×$B_{3×2}$：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\ -1 & 3 & 1\ \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 3 & 1 \ 2 & 1\ 1 & 0 \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1×3+0×2+2×1) & (1×1+0×1+2×0) \ (-1×3+3×2+1×1) & (-1×1+3×1+1×0) \ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5 & 1 \ 4 & 2 \ \end{bmatrix}$$

• 乘法不满足交换律 ： AB ≠ BA；
• 乘法结合律 ： （AB）C=A（BC）；
• 乘法分配律： A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA；
• 乘法和数乘结合律： λ（AB）=（λA）B=A（λB）；
• 单位矩阵满足： AE=EA=A；
• 零矩阵满足： $0_{m×n}A_{s×n}=0_{m×n}$，$A_{s×n}0_{n×t}=0_{s×t}$；

矩阵转置：

把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作$A^T$

$$A_{2×3}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5& 6\\end{pmatrix} ,A^T= \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 \\end{pmatrix}_{3×2}$$

• $(A^T)^T=A$
• $(A+B)^T=A^T+B^T$
• $(λA)^T=λA^T$
• $(AB)^T=B^TA^T$

方阵的幂运算：

$A^n×A^m=A^{n+m}$
$(A^n)^m=A^{nm}$
$A^0=E(单位矩阵)$