机器学习 第一讲：线性回归

Supervised Learning

首先给出一些基本定义，$x^{(i)}$ 表示输入变量或者输入特征，$y^{(i)}$ 表示输出变量或者目标值。$(x^{(i)}, y^{(i})$ 称为一对样本，一组样本 $\{(x^{(i)}, y^{(i)}); i=1,2,...,m\}$ 称为训练集，其中$\mathbf{X}$ 表示输入变量的值域，$\mathbf{Y}$ 表示输出变量的值域，一般来说，我们都只考虑实数域。

The goal of supervised learning can be described as follows: given a training set, to learn a function $h: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$ so that $h(x)$ can predict the output value as close as the corresponding value of $y$. The function $h$ is called hypothesis.

基于目标值的形式不同，Supervised Learning 主要分成两大类.

Regression Problem（回归问题）: 输出变量是连续值.
Classification Problem（分类问题）: 输出变量是离散值.

线性回归

我们先考虑一个简单的线性回归问题，我们假设输入变量 $\boldsymbol{x}$ 是一个在二维空间$\mathbb{R}^2$的向量， 我们有以下的表达式：

$$\begin{equation*} h_\theta(\boldsymbol{x})=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2 \end{equation*}$$
$\theta_i$ 是 参数 (有时称为权值)，这些参数可以将输入域 $\mathbf{X}$ 线性映射到输出域 $\mathbf{Y}$. 我们引入截距的概念， 令 $x_0=1$, 上述表达式可以改写成：
$$\begin{equation*} h_\theta(\boldsymbol{x})=\sum_{i=0}^{n}\theta_ix_i=\boldsymbol{\theta}^T\boldsymbol{x} \end{equation*}$$
现在，给出一组有 $m$ 个样本的训练集，我们希望找到合适的参数 $\theta$， 使得预测值 $h_\theta(x)$ 与目标值尽可能接近。为了估计参数 $\theta$， 我们定义如下的 cost function:
$$J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(\boldsymbol{x}^i)-y^i)^2$$
这个函数与最小均方误差函数很像，接下来，我们讨论如何求解参数 $\theta$。

LMS Algorithm

为了求得最优的参数 $\theta$ 使得函数的均方误差最小，我们可以采用梯度下降算法进行求解，参数 $\theta$ 的更新可以
表示成如下：

$$\begin{equation*} \theta_j: =\theta_j-\alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) \end{equation*}$$
其中，$\alpha$ 称为 Learning rate. 我们先给出函数的偏导数，为了简便起见，先考虑只有一对样本的情况 $(\boldsymbol{x},y)$.
$$\begin{equation*} \begin{split} \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) & = \frac{\partial}{\partial \theta_j}\frac{1}{2}( h_\theta(\boldsymbol{x})-y)^2 \& =2\cdot\frac{1}{2}\cdot( h_\theta(\boldsymbol{x})-y)\cdot\frac{\partial}{\partial \theta_j}( h_\theta(\boldsymbol{x})-y) \& = (h_\theta(\boldsymbol{x})-y)\cdot \frac{\partial}{\partial \theta_j}(\sum_{i=0}^{n}\theta_i x_i-y) \& = (h_\theta(\boldsymbol{x})-y)x_j \\end{split} \end{equation*}$$
进而，我们可以得到只有一对样本时的更新准则：
$$\begin{equation} \theta_j: =\theta_j+\alpha (y^i-h_\theta(\boldsymbol{x}^i))x_{j}^{i} \end{equation}$$
这就是有名的LMS更新原则，也叫Widrow-Hoff学习准则，参数 $\theta$ 更新的幅度取决于误差项的大小。从一对样本的情况，我们推导出参数$\theta$ 如何更新使得函数可以收敛。事实上，对于含有多个训练样本的情况，有两个方法可以对参数$\theta$ 进行更新，一个是 batch model， 另外一个是 stochastic model。

batch model的更新原则是每一次更新要遍历所有的样本，如下所示：

$$\begin{equation*} \begin{split} & \text{Repeat until convergence} \qquad \{ \& \theta_j: =\theta_j-\alpha \sum_{i=1}^{m} (y^i-h_\theta(\boldsymbol{x}^i))x_{j}^{i} \qquad \text{for every $j$} \& \} \end{split} \end{equation*}$$

而stochastic model每遇到一个样本就会进行一次更新，如下所示：

$$\begin{equation*} \begin{split} & \text{Loop} \qquad \{ \& \qquad \text{for $i=1$ to $m$,} \qquad \{ \& \qquad \theta_j: =\theta_j-\alpha (y^i-h_\theta(\boldsymbol{x}^i))x_{j}^{i} \qquad \text{for every $j$} \& \qquad \} \& \} \end{split} \end{equation*}$$

从上面两种方式可以看出，batch model 每做一次更新要遍历所有的样本，这是非常耗时的，特别是在样本数非常多的时候，而stochastic model 是即时更新，每遇到一个样本就更新一次，通常情况下，stochastic model会下降地比batch model 快，不过stochastic model的一个缺陷是有可能无法收敛到全局最小值，而是在最小值附近来回扰动，这大概也是称之为stochastic model的原因，最终收敛的值带有一定的随机性，然而虽然只是收敛到全局最小值附近，很多时候这种近似已经非常靠近全局最小值，而且stochastic model的效率要更高，所以stochastic model一般会作为优先考虑的方法。

更通常的一种做法是结合两种方式，将整个训练集分割成很多个小的batch，然后利用stochastic model进行更新，每遇到一个小的batch，进行一次更新，这样做利用了stochastic model的高效，也在一定程度上减轻了在全局最小值附近的扰动。

参考文献

Andrew Ng, “Machine Learning”, Stanford University.