【BZOJ 3527】 [Zjoi2014]力

3527: [Zjoi2014]力

Description

给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

令Ei=Fi/qi，求Ei.

Input

第一行一个整数n。
接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。

Output

n行，第i行输出Ei。
与标准答案误差不超过1e-2即可。

Sample Input

5
4006373.885184
15375036.435759
1717456.469144
8514941.004912
1410681.345880

Sample Output

-16838672.693
3439.793
7509018.566
4595686.886
10903040.872

Hint

对于30%的数据，n≤1000。
对于50%的数据，n≤60000。
对于100%的数据，n≤100000，qi:(0,1000000000)。

Source

感谢nodgd放题

公式推导+FFT~

经过简单推导，得出$E_i$表达式

1.前面一项为$A(i)$与后面一项为$B(i)$分开计算，我们发现$j+(i-j)=i$是定值，是卷积的形式，那么设$f(i)=q_i$ $g(i)=\frac1{i^2}$，前一部分就变成

2.后一部分由于是$j>i$，我们把$q$数组逆序，那么

然后再把求出的$B(i)$逆序即可。

第一个代码是用STL中的complex写的，很慢。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <complex>
#define M 500005
#define pi acos(-1)
using namespace std;
complex<double> a[M],b[M],p[M];
double x[M],r[M];
int n;
void FFT(complex<double> x[],int n,int p)
{
    for (int i=0,t=0;i<n;i++)
    {
        if (i>t) swap(x[i],x[t]);
        for (int j=n>>1;(t^=j)<j;j>>=1);
    }
    for (int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        complex<double> wn(cos(p*pi*2/m),sin(p*pi*2/m));
        for (int i=0;i<n;i+=m)
        {
            complex<double> w(1,0),u;
            int k=m>>1;
            for (int j=0;j<k;j++,w*=wn)
            {
                u=x[i+j+k]*w;
                x[i+j+k]=x[i+j]-u;
                x[i+j]=x[i+j]+u;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lf",&r[i]);
        a[i]=r[i];
        if (!i) b[i]=0.0;
        else b[i]=(double)1/((double)i*i);
    }
    int nn=n;
    for (int j=n,i=1;(i>>2)<j;i<<=1)
        n=i;
    FFT(a,n,1);FFT(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        p[i]=a[i]*b[i];
    FFT(p,n,-1);
    for (int i=0;i<nn;i++)
        x[i]=(double)p[i].real()/(double)n;
    for (int i=0;i<nn;i++)
        a[i]=r[nn-i-1];
    for (int i=nn;i<n;i++)
        a[i]=0.0;
    b[0]=0.0;
    for (int i=1;i<nn;i++)
        b[i]=(double)1/((double)i*i);
    for (int i=nn;i<n;i++)
        b[i]=0.0;
    FFT(a,n,1);FFT(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        p[i]=a[i]*b[i];
    FFT(p,n,-1);
    for (int i=0;i<nn;i++)
        x[i]-=((double)p[nn-i-1].real()/(double)n);
    for (int i=0;i<nn;i++)
        printf("%.5lf\n",x[i]);
    return 0;
}

用struct实现complex，x表示实部，y表示虚部，快了很多~

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define M 500005
#define pi acos(-1)
using namespace std;
struct cp
{
    double x,y;
    cp operator +(cp b)
    {
        return (cp){x+b.x,y+b.y};
    }
    cp operator -(cp b)
    {
        return (cp){x-b.x,y-b.y};
    }
    cp operator *(cp b)
    {
        return (cp){x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x};
    }

}a[M],b[M],p[M];
double x[M],r[M];
int n;
void FFT(cp *x,int n,int p)
{
    for (int i=0,t=0;i<n;i++)
    {
        if (i>t) swap(x[i],x[t]);
        for (int j=n>>1;(t^=j)<j;j>>=1);
    }
    for (int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        cp wn=(cp){cos(p*pi*2/m),sin(p*pi*2/m)};
        for (int i=0;i<n;i+=m)
        {
            cp w=(cp){1,0},u;
            int k=m>>1;
            for (int j=0;j<k;j++,w=w*wn)
            {
                u=x[i+j+k]*w;
                x[i+j+k]=x[i+j]-u;
                x[i+j]=x[i+j]+u;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lf",&r[i]);
        a[i]=(cp){r[i],0};
        if (!i) b[i]=(cp){0,0};
        else b[i]=(cp){(double)1/((double)i*i),0};
    }
    int nn=n;
    for (int j=n,i=1;(i>>2)<j;i<<=1)
        n=i;
    FFT(a,n,1);FFT(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        p[i]=a[i]*b[i];
    FFT(p,n,-1);
    for (int i=0;i<nn;i++)
        x[i]=(double)p[i].x/(double)n;
    for (int i=0;i<nn;i++)
        a[i]=(cp){r[nn-i-1],0};
    for (int i=nn;i<n;i++)
        a[i]=(cp){0,0};
    b[0]=(cp){0,0};
    for (int i=1;i<nn;i++)
        b[i]=(cp){(double)1/((double)i*i),0};
    for (int i=nn;i<n;i++)
        b[i]=(cp){0,0};
    FFT(a,n,1);FFT(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        p[i]=a[i]*b[i];
    FFT(p,n,-1);
    for (int i=0;i<nn;i++)
        x[i]-=((double)p[nn-i-1].x/(double)n);
    for (int i=0;i<nn;i++)
        printf("%.5lf\n",x[i]);
    return 0;
}

感悟：
卷积求是对序数和为定值的式子，对于其他情况我们可以将数组逆序转化成和为定值。