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什么是动态规划（DP）？问题可以表现为多阶段决策
在实际中，人们常常遇到 这样一类决策问题：即由于过程的特殊性，可以将决策的全过程依据时间或空间划分若干个联系的阶段。而在各阶段中，人们都需要作出方案的选择，我们称之为决策，并且当一个阶段的决策之后，常常影响到下一个阶段的决策，从而影响整个过程的活动。这样，各个阶段所确定的决策就构成一个决策序列，常称之为策略。由于各个阶段可供选择的决策往往不止一个，因而就可能有许多决策以供选择，这些
可供选择的策略构成一个集合，我们称之为允许策略集合（简称策略集合）。每个策略都相应地确定一种活动的效果，我们假定这个效果可以用数量来衡量。由于不同的策略常常导致不同的效果，因此，如何在允许策略集合中选择一个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果，常常是人们所关心的问题，我们称这样的策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。
一般来说，一个经典的动态规划算法时自底向上的（从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策处较大问题的解），它需要解出给定问题的所有较小子问题。动态规划的一个变种是试图避免对不必要的子问题求解。如果采用自顶向下的递归来解，那么就避免了不必要子问题的求解（相对于动态规划表现出优势），然而递归又会导致对同一个子问题多次求解（相对于动态规划表现出劣势），所以将递归和动态规划结合起来，就可以设计一种基于记忆功能的从顶向下的动态规划算法。
那么遇到问题如何用动态规划去解决呢？根据上面的分析我们可以按照下面的步骤去考虑：
1、构造问题所对应的过程。
2、思考过程的最后一个步骤，看看有哪些选择情况。
3、找到最后一步的子问题，确保符合“子问题重叠”，把子问题中不相同的地方设置为参数。
4、使得子问题符合“最优子结构”。
5、找到边界，考虑边界的各种处理方式。
6、确保满足“子问题独立”，一般而言，如果我们是在多个子问题中选择一个作为实施方案，而不会同时实施多个方案，那么子问题就是独立的。
7、考虑如何做备忘录。
8、分析所需时间是否满足要求。
9、写出转移方程式。
题目：买书
有一书店引进了一套书，共有3卷，每卷书定价是60元，书店为了搞促销，推出一个活动，活动如下：
如果单独购买其中一卷，那么可以打9.5折。
如果同时购买两卷不同的，那么可以打9折。
如果同时购买三卷不同的，那么可以打8.5折。
如果小明希望购买第1卷x本，第2卷y本，第3卷z本，那么至少需要多少钱呢？（x、y、z为三个已知整数）。
当然，这道题完全可以不用动态规划来解，但是现在我们是要学习动态规划，因此请想想如何用动态规划来做？
解析：
1、过程为一次一次的购买，每一次购买也许只买一本（这有三种方案），或者买两本（这也有三种方案），或者三本一起买（这有一种方案），最后直到买完所有需要的书。
2、最后一步我必然会在7种购买方案中选择一种，因此我要在7种购买方案中选择一个最佳情况。
3、子问题是，我选择了某个方案后，如何使得购买剩余的书能用最少的钱？并且这个选择不会使得剩余的书为负数。母问题和子问题都是给定三卷书的购买量，求最少需要用的钱，所以有“子问题重叠”，问题中三个购买量设置为参数，分别为i、j、k。
4、的确符合。
5、边界是一次购买就可以买完所有的书，处理方式请读者自己考虑。
6、每次选择最多有7种方案，并且不会同时实施其中多种，因此方案的选择互不影响，所以有“子问题独立”。
7、我可以用minMoney[i][j][k]来保存购买第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本时所需的最少金钱。
8、共有x * y * z 个问题，每个问题面对7种选择，时间为：O( x * y * z * 7) = O( x * y * z )。
9、用函数MinMoney(i,j,k)来表示购买第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本时所需的最少金钱，那么有：
MinMoney(i,j,k)=min(s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7),其中s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7分别为对应的7种方案使用的最少金钱：
s1 = 60 * 0.95 + MinMoney(i-1,j,k)
s2 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j-1,k)
s3 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j,k-1)
s4 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j-1,k)
s5 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j,k-1)
s6 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j,k-1)
s7 = (60 + 60 + 60) * 0.85 + MinMoney(i-1,j-1,k-1)
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原文地址：http://blog.csdn.net/u014082714/article/details/44904111
