leetcode172：Factorial Trailing Zeroes

题意：

求一个整数的阶乘的尾数0的个数。

分析：

**方法一：

**对n!做质因数分解$n!=2^x*3^y*5^z*...$ 显然0的个数等于$min(x,z)$，并且$min(x,z)==z$，也就是5的幂指数。
证明：
对于阶乘而言，也就是$N!=1*2*3*...*n$
$[n/2] > [n/5]$ (左边是逢2增1，右边是逢5增1)
$[n/2^2] > [n/5^2]$(左边是逢4增1，右边是逢25增1)
……
$[n/2^p] > [n/5^p]$(左边是逢$2^p$增1，右边是逢$5^p$增1)
随着幂次p的上升，出现$2^p$的概率会远大于出现$5^p$的概率。
因此左边的加和一定大于右边的加和，也就是$n!$质因数分解中，2的次幂一定大于5的次幂
代码：

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
       /* //方法一：从1到N中提取5的个数。超时。
        int total;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int temp=i;
            while(temp%5==0)
            {
               total++;
               temp/=5;
            }
        }
        return total;
       }
    };

方法二：

从方法一的分析可以知道起作用的只有被5整除的那些数。能不能只对这些数进行计数呢？答案是肯定的。存在这样的规律：$[n/k]$代表$1...n$中能被$k$整除的个数。
证明：
将$n$分段：
$k$
$k+1$~$2k$
$2k+1$~$3k$
…….
$([n/k ]-1)k-1$~$[n/k]k$
$[n/k]k+1$~end
前$[n/k]$段各有一个被k整除的数在尾部,共计[n/k]个
最后一段（如果有这个不完整段的话）,没有k的倍数（因为它不可能包括$[n/k]k+k$）.

代码：

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {         
    //方法二:[n/k]代表1~n中能被k整除的个数    
    int total=0;
    while(n)
    {
        total += n/5;
        n /= 5;
    }
    return total;    
   }
};

参考资料：
1：http://www.cnblogs.com/ganganloveu/p/4193373.html
2：http://zuoye.baidu.com/question/c47f51b87aa60e450fdaec79e53fd91e.html