复变函数简要

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一、关于复数

 

(1) 复数是实数的扩充，具有不同于实数的性质。例如不可比较大小。

 

(2) 关于复数，首要的问题是复数是否具有完备性，对复数进行运算 + - * /  共轭 开方 极限运算所得结果仍是复数。一些运算规律结合律分配律等同实数。

 

(3) 复数域是否可定义序？

 

(4) 复数的表达方法。 代数表达 $z=x+ i y$ ,称 $x=Re(z),y=Re(z)$ ; 指数表达 $z=r exp i(\theta +2k\pi)$ .模与幅角的概念，幅角具有多值性这是某些函数多值性的本质原因。三角表达形式 $z=r(\cos \theta +i \sin \theta )$ 。这里利用了伟大的 $Euler$ 公式

$$e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$$

 

(5) 复数在几何中的应用。二维平面的曲线 $f(x,y)=0$ ，把 $x$ 看成复数 $z$ 的实部 $y$ 看作复数 $z$ 的虚部，则

$$g(z,\bar{z})=f(\frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2})=0$$

最重要的是以 $a$ 为圆心半径为 $R$ 的圆的表达：

$$|z-a|=R$$

 

(6) 广义复数，利用黎曼球映射到复平面，球极投影。

 

(7) 复平面上的点集。最重要的是有界闭集、紧集等。引进拓扑，定义领域 开集 闭集 Borel集 $\sigma$ 代数等。

二、复变函数

 

(8) 复变函数的定义 $\omega= f(z)$ 定义域 映射法则 值域

 

(9) 实变复值函数 $z(t)=x(t)+i y(t)$ .可以把它看成一个质点运动形成的轨道。

 

(10) 复变函数的二元数对表达形式

$$f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)$$

 

(11) 极限（数列与函数）的定义 $\lim_{z \to z_{0}}f(z)=A$ $varepsilon$ - $\delta$ 语言. 应当注意复数域极限的定义与实数域极限定义的不同。 $z \to z_{0}$ 也即要求趋于的方向是任意的，一元实变函数只是左右趋近，这里对应二元数对 $(x,y) \to (x_{0},y_{0})$ .  极限理论的基本定理如运算定理 柯西判别法 波尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理等。

 

(12) 复变函数的连续性判断。复变函数的一致连续判断。

 

(13) 复变函数 $f(z)$ 能否像实变函数 $f(x)$ 那样作出 $z-f(z)$ 图像？这是不能的，因为 $z$ 是二维的 $f(z)$ 也是二维的！如果生活在更高维空间是可以作出直观图的，复变函数的可视化研究。更多的是研究 $f(D)$ .

 

(14) 复变函数的可导性与可微型。单复变可导和可微是等价的，但是可导和可微不是一件事。导数的定义本身提供了一种函数是否可导的判断准则。

 

(15) 解析函数的性质是函数论研究的中心。 $f(z)$ 区域 $D$ 内每一点都是可导的（単演）则称 $f(z)$ 在 $D$ 解析。 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 处解析的定义为在 $z_{0}$ 的一个邻域解析。因此解析的概念比可导强！

 

(16) 由于复变函数极限的定义其导数存在的条件要求相比实变函数的导数来说要严格的多，因此得到的结论也更强更多。构成了复变函数和实变函数的本质区别。

 

(17) Cauchy-Riemman 条件的导出与 共轭调和函数。连续函数可微的充要条件是 $C-R$ 条件成立。这是在 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 形式下进行探讨的。

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

其中 $u,v$ 都是调和函数，关于调和研究是一个专门的分支，可见调和函数和解析函数是密切关联的。若将 $f(z)$ 写成

$$f(z)=f(x,y)=f(\frac{z+\bar{z}}{2},{z-\bar{z}}{2 i})$$

则

$$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})$$

将

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}+i \frac{\partial v}{\partial y}$$

带入得到

$$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$$

 

(18) 导数的几何意义：伸缩率

 

(19) 若 $z_{0}$ 处不解析则称 $z_{0}$ 为奇点;若除此点外在其一小邻域内出处解析则称 $z_{0}$ 为孤立奇点。从定义看的确够孤立的了。

 

(20) 连续函数处处不可导例子比比皆是例如 $f(z)=|z|$ .

 

(21) 上面引入了解析函数并给出了判别方法。

 

(22)  一些初等解析函数。注意与实函数的本质不同。例如 $e^{z}$ 是周期函数不再存在单调函数的说法因为复数无法比较大小； $\sin(z),\cos(z)$ 不再是有界函数。对数函数 $Ln (z)$ 与乘幂 $a^{b}$ 的多值性。

 

复变函数的主要理论由 Cauchy、Weierstrass、Riemman分别从积分和幂级数以及几何的角度建立，主要复习了前两项。

 

三、Cauchy积分定理

 

(23) 复变函数积分的定义

 

 

 

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