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蓝桥杯 历届试题 买不到的数目

时间:2015-04-09 01:00:06      阅读:176      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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历届试题 买不到的数目  
时间限制:1.0s   内存限制:256.0MB
      
问题描述

小明开了一家糖果店。他别出心裁:把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候,他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的,比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下,在这种包装情况下,最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时,求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数,表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式

一个正整数,表示最大不能买到的糖数

样例输入1
4 7
样例输出1
17
样例输入2
3 5
样例输出2
7

 

证明:

假设输入的数是a、b

则(a,b)==1

证明:由裴蜀定理

对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):

ax + by = m

有解当且仅当m是d的倍数。

如果(a,b)!=1,则ax+xy=c中满足题意的c有无穷多个

假设不能表示为 形如 x*a+y*b x>=0 ,y>=0 的最大的整数是 a*b-a-b 
下面只用考虑a>1,b>1 的情形

证明:

1 首先证明,关于x,y的不定方程: x*a+y*b=a*b-a-b 无非负整数解
反设这个方程有解,变形一下,x*a+(y+1)*b=a*b-a ,则推出a|(y+1)*b (|是整除符号),那么由于(a,b)=1 ,推出, a|y+1 ,由于y+1!=0, 这样y+1>=a
带回原方程,x*a+(y+1)*b>=0*a+a*b>=ab>ab-a, 和原方程矛盾。

2 其次证明 如果n>ab-a-b , 方程x*a+y*b=n 一定有非负整数解。
只需证明:
取l>=1 证明a*b-a-b+l =x*a+y*b 一定有非负整数解。
先考虑如下一个方程,x*a+y*b=l (l,不是1),由裴蜀定理,这个方程一定有无穷多组整数解,取出一组解,不妨设 x0*a-y0*b=l(x0>=1 ,y0>=0)

再使得y0满足y0<=a-1 
(由于所有解里面y的取值是mod a 同余的,一定可以取到0~a-1这个范围里面)

取出来了这个x0,y0以后,带回方程a*b-a-b+l =x*a+y*b ,
则 a*b-a-b+l =a*b-a-b+(x0*a-y0*b)=(a-y0-1)*b+(x0-1) *a , a,b的系数都是非负的了,所以解找到了。

 

1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3 int main()
4 {
5 int a, b;
6 cin >> a >> b;
7 cout << a * b - a - b << endl;
8 return 0;
9 }

 

蓝桥杯 历届试题 买不到的数目

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原文地址:http://www.cnblogs.com/Deribs4/p/4405618.html

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