【BZOJ 3505】 [Cqoi2014]数三角形

3505: [Cqoi2014]数三角形

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 664 Solved: 403
[Submit][Status][Discuss]
Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围

1<=m,n<=1000

乱搞题。。

$ans=任取三个点的方案-三点在同一条直线的方案$

$任取三点的方案={(n+1)*(m+1) \choose 3}$

$三点在同一条直线的方案 =水平的+竖直的+斜着的 =(n+1)*{{m+1} \choose 3}+(m+1)*{{n+1} \choose 3}+斜着的$

斜着的怎么算呢？

算出“\”的，“/”用“\”乘2即可。

我们枚举$i$，$j$表示这条斜着的线的端点分别是$i*j$的矩形的左上角和右下角，这条斜线两点已经确定，这条斜线与格点的交点个数为：$gcd(i,j)-1$
（把斜线当做直角三角形的斜边就明白为什么是$gcd(i,j)-1$了）

而这条斜线还可以平移，一共有$(n+1-i)*(m+1-j)$条，最后这样的斜线一共有

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m;
LL C(LL x)
{
    LL ans;
    if (x<3) return 0LL;
    ans=x*(x-1)*(x-2)/6LL;
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    LL ans=1;
    LL tot=(n+1)*(m+1);
    ans=C(tot);
    LL d=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            LL k=__gcd(i,j)+1;
            if (k<3) continue;
            d+=(k-2)*2*(n+1-i)*(m+1-j);
        }
    d+=(C(m+1)*(n+1)+C(n+1)*(m+1));
    cout<<ans-d<<endl;
    return 0;
}

感悟：
想斜线的计算方法想了好久，但总是有漏掉的。。这种做法值得借鉴。。