【BZOJ 3503】 [Cqoi2014]和谐矩阵

3503: [Cqoi2014]和谐矩阵

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Description

我们称一个由0和1组成的矩阵是和谐的，当且仅当每个元素都有偶数个相邻的1。一个元素相邻的元素包括它本
身，及他上下左右的4个元素（如果存在）。
给定矩阵的行数和列数，请计算并输出一个和谐的矩阵。注意：所有元素为0的矩阵是不允许的。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的整数m和n，分别表示矩阵的行数和列数。

Output

输出包含m行，每行n个空格分隔整数（0或1），为所求矩阵。测试数据保证有解。

Sample Input

4 4

Sample Output

0100

1110

0001

1101

数据范围

1 <=m, n <=40
HINT

Source

鸣谢Ljcc提供Spj

高斯消元解异或方程组（具体做法见【POJ 1222】）。

有两种做法：
①速度较慢的方法：
对于矩阵中的每一个元素都可以列出一个方程，$m*n$个未知数，$m*n$个方程($f[i][j]$表示第$i$个对第$j$个有影响)：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int a[2000][2000],ans[2000],d[10][5],id[50][50],n,m;
void Gauss(int n,int m)
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j;
        for (j=i;j<=m&&!a[j][i];j++);
        if (j>n) continue;
        if (j!=i)
            for (int k=i;k<=m;k++)
                swap(a[i][k],a[j][k]);
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            if (a[j][i])
                for (int k=i;k<=m;k++)
                    a[j][k]^=a[i][k];
    }
    for (int i=n;i;i--)
    {
        if (!a[i][i])
        {
            ans[i]=1;
            continue;
        }
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            a[i][m]^=(ans[j]*a[i][j]);
        ans[i]=a[i][m];
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    d[0][1]=d[0][2]=0;
    d[1][1]=d[2][1]=0,d[1][2]=1,d[2][2]=-1;
    d[3][2]=d[4][2]=0,d[3][1]=1,d[4][1]=-1;
    int cnt=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            id[i][j]=++cnt;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            for (int k=0;k<=4;k++)
            {
                int p=id[i+d[k][1]][j+d[k][2]];
                if (p) a[id[i][j]][p]=1;
            }
    Gauss(cnt,cnt+1);
    cnt=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%d",ans[++cnt]);
        for (int j=2;j<=m;j++)
            printf(" %d",ans[++cnt]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

②速度快的办法：
可以发现当第一行确定之后，整个矩阵就确定了，因此我们只要把第一行设为未知数即可。

如何判断第一行的某种排列是否合题意？

如果第m+1行全部是0就合题意，否则不合。

而第m+1行的每一个数一定是第一行的某些数异或起来的，我们只要只要确定他是由哪些数异或得到（求出关系数组$f[i][j]$），使这些数的异或值为0即可。

最终列出n个方程，有n个未知数。（orz zyf-zyf）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
LL b[45][45];
int a[45][45],ans[45][45],n,m;
void Gauss()
{
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int j;
        for (j=i;j<=m&&!a[j][i];j++);
        if (j>m) continue;
        if (j!=i)
            for (int k=i;k<=m+1;k++)
                swap(a[i][k],a[j][k]);
        for (int j=i+1;j<=m;j++)
            if (a[j][i])
                for (int k=i;k<=m+1;k++)
                    a[j][k]^=a[i][k];
    }
    for (int i=m;i;i--)
    {
        if (!a[i][i]) 
        {
            ans[1][i]=1;
            continue;
        }
        for (int j=i+1;j<=m;j++)
            a[i][m+1]^=(ans[1][j]*a[i][j]);
        ans[1][i]=a[i][m+1];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        b[1][i]=(LL)1<<(i-1);
    for (int i=2;i<=n+1;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            b[i][j]=b[i-1][j-1]^b[i-1][j]^b[i-1][j+1]^b[i-2][j];
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]=(b[n+1][i]>>(j-1))&1;
    Gauss();
    for (int i=1;i<=m;i++)
        printf("%d ",ans[1][i]);
    printf("\n");
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            ans[i][j]=ans[i-1][j-1]^ans[i-1][j]^ans[i-1][j+1]^ans[i-2][j];
            printf("%d ",ans[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

感悟：
高斯消元解异或方程组：方程中异或相当于相加，于是异或方程就变成了普通的方程；
列异或方程通常要先求出关系数组，给每个数乘上他们的关系，1表示有影响，0表示没有影响。