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<<什么是数学>> 笔记 余数那些事儿
今天又踩坑了，感觉各种问题递归下去有没个尽头的样子╮（╯＿╰）╭
还是要回归到数学的本质上来．．．
只要说数学，你就会被高斯帅哭的．．．
一般性的概念．
只要碰到用一个固定的整数d，去除整数的问题，＂同余＂的概念和记法(高斯创造)使得这个推理简单而清楚．
（伟大的人都是把复杂的问题简单化）
啊哈， 看图，＂同余＂的概念就很直观了．我们看到任意一个整数被5除时，剩下的余数是0,1,2,3,4,这五个数中的一个．如果两个整数a和b被5除有相同的余数，我们称它们是模５同余
同余数的表示方法，这就是同余式
一下命题等价:
1. a和b是模5同余．
2. 存在某个整数n, a = b + nd;
3. d 整除 a - b
一开始我很狐疑（我智商低求不鄙视．．），为嘛 a = b + nd 会成立，如果a ,b 同余的话．
好，我们来证明一下
对于命题＂如果 a,b 同余，那么 a = b + nd＂ 的证明：
假设a ,b 同余的话,可以假设它们对于模d的共同余数为为r．
那么有a = r + x*d;
b = r + y*d;
两个等式做减法． a - b = (x - y) * d; 变形 a = b + (x- y)*d.看，是不是如果用n表示 x - y 就能得到命题的证明了！
高斯的这种同余数表示方法之所以很方便，是因为它表示的同余式满足很多基础性的运算符法则，加，减，乘
这里的 加 减 乘 是针对 两对同余数（即同余式）来说的，而不是一对同余数 （不是天才就慢慢的思考嘛～，会有更深刻的认识）
证明一下:
已知, a == a‘ (mod d) , b == b‘(mod d)
a = r + d*x;
a‘ = r + d*y;
b = p + d*m;
b‘ = p + d*n;
由于：
a + b = (r + p) + d*(x + m)
a‘ + b‘ = (r + p) + d*(y + n)
那么我们可以知道，a+b与a‘+b‘同余！
同理可以证明 5) 和 6)
大名鼎鼎的GCD算法的证明:
下面是我以前写的关于GCD的实现
http://blog.csdn.net/cinmyheart/article/details/39370553
证明过程简直beautiful,有木有! 超帅~
我今天终于明白...GCD为什么那样写了...
一条很重要的规律: 当a或b任意一个素数d的倍数时,那么他们的乘积也是d的倍数.这里重点其实在强调d必须是素数.
当d不是个素数的时候, 上述约束就不一定成立.
费马定理:
注意!p是个素数, 而且还是不能整除a的素数.
2^2 = 1 (mod 3)
2^4 = 1 (mod 5)
这样应该比较有感觉.
费马定理的证明:
证明过程中对于"m1 m2 m3 ... mp-1 如果将其次序重新排序,必须相应的同余于数1 2 3 4 ... p-1"这里不明白, 如果有人知道为嘛的话, 希望能一起交流讨论~
后面其他余数相关的东东应该还会update~
标签：数学
原文地址：http://blog.csdn.net/cinmyheart/article/details/44889761
