深入理解二进制补码

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大家都知道计算机内部采用补码表示整数的，但是具体到补码的内在含义，很多人不能理解，故我们分享自己的理解。

首先说下补码的定义以及基本性质：
1） 正数的补码和原码相同；
2） 负数的补码等于取反后加1；
3） 0的正负两种补码相同；
4） 对一个补码再求补码等于自己；
5） 一个正数的原码和其对应的负数的补码相加等于模；

针对本文，我们其实只关心规则1）和2）即可。

实例

为方便说明现有的补码定义（即正数的补码等于原码；负数的补码等于取反加1），本文均以八进制为例。

5 – 3 //记作式A，方便后文引用
= 5 + ( -3 )
（下面开始转为二进制补码格式）
= 0101 + ( 1111 – 0011 + 1 ) //展开-3的补码形式
= ( 0101 – 0011 ) + ( 1111 + 0001 ) //交换
= ( 0101 – 0011 ) + ( 0000 ) //此处10000溢出为0000
= 0010 //得出结果是2的补码，也是2的原码

2 – 3 //记作式B，方便后文引用
= 2 + ( -3 )
（下面开始转为二进制补码格式）
= 0010 + ( 1111 – 0011 + 0001 ) //展开-3的补码形式
= 1111 – ( 0011 – 0010 ) + 0001 //交换
= 1111 – 0001 + 0001
= 1111 //得出结果是-1的补码

由式A和式B，我们可以获得一个感性认识了。我们放宽到更一般的情况，（X和Y为任意正整数）：

X – Y //记作式C，方便后文引用
= (X的补码) + ((-Y)的补码) //计算机将这样的两个补码将加
（如果X>Y，由式A可以推得=(X – Y )的补码；
如果X<Y，由式B可以推得=(-(Y-X))的补码；
最终归结，就是=(X-Y)的补码！）
= (X-Y)的补码 //不管(X-Y)是正还是负，都成立！别忘了正数的补码就是原码。

可见，计算机内部是在对X和(-Y)计算两个补码之和，而实际得出的结果是(X-Y)的补码，正是我们所期望的！

至此，我们知道现有的补码机制确实是正常工作的！

扩展

上述我们采用的补码定义是众所周知的（即正数的补码等于原码；负数的补码等于取反加1）。那么我们的问题来了，补码定义可以修改么？
我们针对八进制具体看下补码定义：(X为正数)

正数X的补码等于X的原码；（此处可理解为正数X的补码等于X+K，K=0000）
负数(-X)的补码等于M-X+N，M=1111，N=0001；
我们的问题就是这里的K、M、N是可以修改成别的值么？

我们尝试修改M和N：M=1100，N=0100。我们发现，这样的M和N对于式A和式B是没问题的！那为何不采用呢？其实原因很简单，但很致命：电路硬件实现取反（效果就是1111-X）很容易，但是实现1100-X这种形式的就又陷入减法计算了。毕竟我们的初衷是希望减法也能采用加法器完成，这也是我们采用引入补码编码整数的原因！

好吧，我们保持M=1111，接着尝试修改N=0010，也就是将负数的补码定义修改为取反加2。我们发现，对于式B是没有问题的，但是式A不满足了！其实如果此时我们同时修改正数的补码定义为原码加1（正数X的补码修改为X+1），就能满足式A了，不信的话就请试试。除了得修改正数补码定义之外，还同时引入了一个映射的新问题！我们期望是[-8,-1]整个区间是可以一一映射到1XXX形式的补码上，共8个数。而我们这么修改后，-1的补码变成了0000，而0的补码也是0000；7的补码反倒是1000了。所以不仅一一映射被破坏了，负数的首bit为1的补码形式也破坏了！

那我们如果保持M=1111，修改N=0000呢？也就是将负数的补码定义修改为仅仅取反。我们发现，此时1111和0000都是0的补码表示（此时规定任意一种即可），而-8则没有对应的补码。可见，此时仅仅浪费了一个补码表示（-8）而已。事实上，过去有些厂家就是这么实现的。如果查看c语言标准，可以看到其实浪费（对于我们的例子就是-8）是允许的。

现在可以推导一下了，假设X为正数，原码X的定义为X+K，补码(-X)的定义为M-X+N，此时式C就变成了：

X - Y //记作式D，方便后文引用
= X + (-Y)
（下面开始转为二进制补码格式）
= X + K + ( M - Y + N )
（如果X>Y，= K + M + N + (X-Y)。
此时分析正数(X-Y)的补码并根据正数补码定义可以推出：
K + M + N = K，即M + N = 0。
如果X<Y，= M - (Y-X)+ K + N。
此时分析负数(X-Y)的补码并根据负数补码定义可以推出：
K+N=N，即K为0）
最终我们得出M + N = 0，K = 0。而根据硬件易于实现反码的事实，M = 1111。故
M = 1111
N = 0001
K = 0000

结论

现在我们可以重新审视补码机制了。其实就是利用硬件电路容易实现的取反变通地实现了减法，在实现时充分考虑了一一映射原则以及保证负数的补码是首bit位为1的形式。