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骨牌，一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题：
我们有一个2xN的长条形棋盘，然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘，一共有多少种不同的覆盖方法呢？
举个例子，对于长度为1到3的棋盘，我们有下面几种覆盖方式：
第1行：1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000
第1行：1个整数，表示覆盖方案数 MOD 19999997
62247088
17748018
当N很小的时候，我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候，只要我们的电脑足够好，我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的，总是这样直接枚举不是显得很Low么，所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上，对于这种线性递推式，我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列，我们希望找到一个2x2的矩阵M，使得(a, b) x M = (b, a+b)，其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然，只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了：
进一步得到：
那么接下来的问题是，能不能快速的计算出M^n？我们先来分析一下幂运算。由于乘法是满足结合律的，所以我们有：
不妨将k[1]..k[j]划分的更好一点？
其中(k[1],k[2]...k[j])2表示将n表示成二进制数后每一位的数字。上面这个公式同时满足这样一个性质：
结合这两者我们可以得到一个算法：
1. 先计算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)}，因为该数列满足递推公式，时间复杂度为O(logN)
2. 将指数n二进制化，再利用公式将对应的a^j相乘计算出a^n，时间复杂度仍然为O(logN)
则总的时间复杂度为O(logN)
这种算法因为能够在很短时间内求出幂，我们称之为“快速幂”算法。
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 typedef long long ll; 7 const long long MOD = 19999997; 8 9 struct matrix { 10 ll a, b, c, d; 11 matrix() : a(0), b(1), c(1), d(1) {} 12 matrix(int _a, int _b, int _c, int _d) : a(_a), b(_b), c(_c), d(_d) {} 13 matrix operator * (const matrix &m) const { 14 matrix tmp; 15 tmp.a = (a * m.a + b * m.c) % MOD; 16 tmp.b = (a * m.b + b * m.d) % MOD; 17 tmp.c = (c * m.a + d * m.c) % MOD; 18 tmp.d = (c * m.b + d * m.d) % MOD; 19 return tmp; 20 } 21 matrix & operator = (const matrix &m) { 22 a = m.a; 23 b = m.b; 24 c = m.c; 25 d = m.d; 26 return *this; 27 } 28 }; 29 30 matrix pow(const matrix &a, int n) { 31 matrix tmp; 32 if (n == 0) { 33 tmp.d = 0; 34 return tmp; 35 } 36 if (n == 1) return tmp; 37 tmp = pow(a, n / 2); 38 if (n & 1) { 39 tmp = tmp * tmp * a; 40 } else { 41 tmp = tmp * tmp; 42 } 43 return tmp; 44 } 45 46 int main() { 47 ll n; 48 matrix a, b; 49 while (cin >> n) { 50 b = pow(a, n); 51 cout << b.d << endl; 52 } 53 return 0; 54 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/easonliu/p/4419459.html
