VC维

　有关于VC维可以在很多机器学习的理论中见到，它是一个重要的概念。在读《神经网络原理》的时候对一个实例不是很明白，通过这段时间观看斯坦福的机器学习公开课及相关补充材料，又参考了一些网络上的资料（主要是这篇，不过个人感觉仍然没有抓住重点），重新思考了一下，终于理解了这个定义所要传达的思想。

　　先要介绍打散(shatter)的概念：对于一个给定集合S={x1, ... ,xd}，如果一个假设类H能够实现集合S中所有元素的任意一种标记方式，则称H能够打散S。例如下图S={x1,x2, x3},它们的取值为{-1,1},就有8中组合方式，但是总能够通过二维的直线将其分开，故VC(二维线性分类器) = 3.

　　这样之后才有VC维的定义：H的VC维表示为VC(H) ，指能够被H分散的最大集合(样本)的数目。若H能分散任意大小的集合，那么VC(H)为无穷大。在《神经网络原理》中有另一种记号：对于二分总体F，其VC维写作VCdim(F)。

　　通常定义之后，会用二维线性分类器举例说明为什么其VC维是3，而不能分散4个样本的集合，这里也就是容易产生困惑的地方。下面进行解释。

　　对于三个样本点的情况，下面的S1所有的标记方式是可以使用线性分类器进行分类的，因此其VC维至少为3（图片来自于斯坦福机器学习公开课的materials,cs229-notes4.pdf）：

　　　　

　　虽然存在下面这种情况的S2，其中一种标记方式无法用线性分类器分类（图片来自于斯坦福机器学习公开课的materials,cs229-notes4.pdf）

　　　　　　　　　　

　　但这种情况并不影响，这是因为，上一种的S1中，我们的H={二维线性分类器}可以实现其所有可能标签情况的分类，这和S2不能用H分散无关。

　　而对于4个样本点的情况，我们的H不能实现其所有可能标签情况的分类（这是经过证明的，过程不详）如下图中某个S和其中一种标签分配情况：

　　

　　　　　　　　

　　可见，H={二维线性分类器}的VC维是3。

　　从这个解释过程可以看出，对于VC维定义理解的前提是先理解分散的定义。分散中的集合S是事先选定的，而VC维是能分散集合中基数（即这里的样本数）最大的。因此，当VC(H)=3时，也可能存在S‘，|S‘|=3但不能被H分散；而对于任意事先给定的S"，|S"|=4，H不能对其所有可能的标签分配方式进行分散。这里所谓“事先给定”可以看作其点在平面上位置已定，但所属类别未定（即可能是任意一种标签分配）。

以上转载自<略有修改>：http://www.cnblogs.com/wuyuegb2312/archive/2012/12/03/2799893.html

VC维含义的个人理解

在VC维的定义下，为了证明VC(H)至少是d，我们只需要证明至少存在一个大小是d的集合是可以被打散的。

VC维反映了分类集的学习能力，VC维越大则学习机器越复杂（容量越大），遗憾的是，目前尚没有通用的关于任意分类集VC维计算的理论，只对一些特殊的分类集知道其VC维。例如在N维空间中线形分类器的VC维是N+1。