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题目大意：
给定n，m，求有多少组(a,b) 0<a<=n , 0<b<=m ， 使得gcd（a，b）= p ， p是一个素数
这里本来利用枚举一个个素数，然后利用莫比乌斯反演可以很方便得到答案，但是数据量过大，完全水不过去
题目分析过程（从别人地方抄来的）
ans = sigma(p, sigma(d, μ(d) * (n/pd) * (m/pd)))
Let s = pd, then
ans = sigma(s, sigma(p, μ(s/p) * (n/s) * (m/s)))
= sigma(s, (n/s) * (m/s) * sigma(p, μ(s/p)))
Let g(x) = sigma(p, μ(x/p)), then
ans = sigma(s, (n/s) * (m/s) * g(s))如果我们能预处理g(x)的话就能和前面一样分块搞了。这个时候我们多么希望g(x)和μ(x)一样是积性函数。看完题解后，发现有一个不是积性函数，胜似积性函数的性质。由于题解没有给证明，所以就意淫了一个证明。
考虑质数p‘，g(p‘x) = sigma(p | p‘x, μ(p‘x/p))。
x % p‘ == 0，那么考虑sigma中的变量p的所有取值，它和g(x)中p是相同的。而μ(x)这个函数，如果x有平方因子的话就等于0，因此当p != p‘时μ(p‘x/p) = 0，当p == p‘是，μ(p‘x/p) = μ(x)。所以g(p‘x) = μ(x)。x % p‘ != 0，同样考虑p，会发现它的取值只比g(x)中的p多出一个p‘。同理按照p是否等于p‘讨论，可以得到g(p‘x) = -g(x) + μ(x)。因此g(x)可以在线性筛素数的时候算出。剩下的就是前缀和、分块了。
然后自己看了很久才表示看懂- - ，这里加上自己的理解更加便于阅读
因为我们根据线性筛法得到的莫比乌斯函数，欧拉函数这样的积性函数
所以我们也总是希望上方的g(x)也可以是积性函数方便在线性时间内计算出答案
对于一个积性函数来说，总是不断往前判断它乘上一个素数和当前的联系
列一个素数 p‘ 那么g(p‘x)的结果分析
线性筛的中间过程总是判断当前 i % prime[j] 是否等于 0 ， 所以这里也是判断当前x和p‘的整除关系
1.x%p‘ = 0 , 那么说明x中必然有一个p‘的因子 ， 那么sigma(p | p‘x, μ(p‘x/p)) 中，如果列举的p！=p‘ , 说明此时 p‘*p‘ | (p‘*x/p) ，也就是有至少2个p‘的素数因子，所以
mu[p‘*x/p] = 0 , 唯一就只要考虑 p 取到 p‘的时候 mu[p‘*x/p] = mu[x] , 因为其他mu[]都为0->g(p‘x)=mu[x]
2.x%p‘!=0 , 那么对于先前所有的 x/p 来说，此时乘了p‘ , 若p!=p‘ , 那么因为多了一个因子 mu[p‘*x/p] = -mu[x/p] , 所以在p!=p‘时，所有的情况相加为-g(x),
在考虑枚举到的p‘=p , mu[p‘*x/p] = mu[x] , 所以所有答案叠加所得就是 -g[x]+mu[x]
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 const int MAXN = 10000000; 6 #define ll long long 7 int mu[MAXN+5] , prime[MAXN/10] , g[MAXN+5] , sum[MAXN+5]; 8 bool check[MAXN+5]; 9 int tot; 10 11 void getMu(int n) 12 { 13 memset(check , 0 , sizeof(check)); 14 tot=0; 15 check[1] = true , mu[1]=1 , g[1]=0; 16 for(int i=2 ; i<=n ; i++){ 17 if(!check[i]) prime[tot++]=i , mu[i]=-1 , g[i]=1; 18 for(int j=0 ; j<tot ; j++){ 19 if(i*prime[j]>n) break; 20 check[i*prime[j]]=true; 21 if(i%prime[j] == 0){ 22 mu[i*prime[j]] = 0; 23 g[i*prime[j]]=mu[i]; 24 break; 25 } 26 else mu[i*prime[j]] = -mu[i] , g[i*prime[j]]=-g[i]+mu[i]; 27 } 28 } 29 sum[1]=g[1]; 30 for(int i=2 ; i<=n ; i++) sum[i]=g[i]+sum[i-1]; 31 } 32 33 void swap(int &x , int &y) 34 { 35 int t=x; 36 x=y , y=t; 37 } 38 39 int main() 40 { 41 // freopen("a.in" , "r" , stdin); 42 getMu(MAXN); 43 int T , n , m; 44 scanf("%d" , &T); 45 while(T--) 46 { 47 scanf("%d%d" , &n , &m); 48 if(n>m) swap(n , m); 49 ll ans = 0; 50 int la=0; 51 for(int s=1 ; s<=n ; s=la+1){ 52 //这里分块的意思很明显，因为在一个区间内，n/s ,m/s 的取值是不会变的，所以我们不用连续计算 53 la = min(n/(n/s) , m/(m/s)); 54 ans = ans + (ll)(n/s)*(m/s)*(sum[la]-sum[s-1]); 55 } 56 printf("%lld\n" , ans); 57 } 58 return 0; 59 }
* SPOJ PGCD Primes in GCD Table （需要自己推线性筛函数，好题）
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原文地址：http://www.cnblogs.com/CSU3901130321/p/4426334.html
