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Banach不动点定理 完备的度量空间$(\mathscr X,\rho)$上到自身的压缩映射存在唯一的不动点.
很好的应用在了证明隐函数存在定理的过程中,利用它吧这种类似于函数方程的问题转化成某个映射的不动点问题，强大的工具.
习题作了会发现：如果一个在有界闭集$M$上的到自身的映射$T$满足(类似于压缩映射的条件，减弱一点)$$\rho(Tx,Ty)<\rho(x,y)$$
那么$T$也在$M$中有唯一的不动点.
证明 设$f(x)=\rho(x,Tx)\geq0$,只要能够说明$f(x)$在$M$中可以取到最小值$0$就够了.因为$f$连续很显然,由连续函数的定理知道他能够在有界闭集$M$上取到最小值$$f(x_{0})=\rho(x_{0},Tx_{0})=\min\limits_{x\in M} f(x)$$
如果$f(x_{0})>0$,那么$$f(Tx_{0})=\rho(Tx_{0},T^2x_{0})<\rho(x_{0},Tx_{0})=f(x_{0})$$
与最小性矛盾!
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原文地址：http://www.cnblogs.com/qq3232361332/p/4428594.html
