一、“换边”算法
用Kruskal求最小生成树，标记用过的边。求次小生成树时，依次枚举用过的边，将其去除后再求最小生成树，得出所有情况下的最小的生成树就是次小的生成树。可以证明：最小生成树与次小生成树之间仅有一条边不同。
这样相当于运行m次Kruskal算法。
复杂度O(m^2)
示例代码：
int Kruskal_MinTree() { int u,v; init(); int i,flag,cnt; minedge = 0; flag = cnt = 0; int tmp = 0; for(i=0;i<m;i++) { u = edge[i].s; v = edge[i].t; int fx = findset(u); int fy = findset(v); if(fx != fy) { use[minedge++] = i; tmp += edge[i].w; fa[fx] = fy; cnt++; } if(cnt == n-1) { flag = 1; //找到最小生成树 break; } } if(flag) return tmp; return -1; //不存在最小生成树，返回-1 } int Sec_MinTree() { int i,j,mini,tmp; int cnt,flag,u,v; mini = Mod; for(i=0;i<minedge;i++) //枚举最小生成树中的每条边，将其去除 { init(); flag = cnt = tmp = 0; for(j=0;j<m;j++) { if(j != use[i]) //去除边 { u = edge[j].s; v = edge[j].t; int fx = findset(u); int fy = findset(v); if(fx != fy) { cnt++; tmp += edge[j].w; fa[fx] = fy; } if(cnt == n-1) { flag = 1; break; } } } if(flag && tmp < mini) mini = tmp; } if(mini == Mod) mini = -1; return mini; }
二、“最长边”法
算法流程：先加入(x,y)，对于一棵树，加入(x,y)后一定会形成环，如果删去环上除(x,y)外最大的一条边，会得到加入(x,y)时权值最小的一棵树，如果能快速计算最小生成树中点x与点y之间路径中最长边的长度，即可快速解决。
复杂度O(mlogm+n^2)
示例代码：
int fa[N]; const int M = 100010 struct Edge { int u,v,w; bool chose; }edge[M]; struct Adge { int v,next; }G[N]; //边数组 int tot,n,m; int first[N]; //邻接表头节点位置 int end[N]; //邻接表尾节点位置 int mp[N][N]; //任意两点在最小生成树路径上的最长边长 int findset(int x) { if(x != fa[x]) fa[x] = findset(fa[x]); return fa[x]; } int cmp(Edge ka,Edge kb) { if(ka.w != kb.w) return ka.w < kb.w; if(ka.u != kb.u) return ka.u < kb.u; return ka.v < kb.v; } void Kruskal(Edge *edge) { int k = 0; int i,w,v; //初始化邻接表，对于每个节点添加一条指向其自身的边，表示以i为代表元的集合只有点i for(tot=0;tot<n;tot++) { G[tot].v = tot+1; G[tot].next = first[tot+1]; end[tot+1] = tot; first[tot+1] = tot; } sort(edge+1,edge+m+1,cmp); for(i=1;i<=m;i++) { if(k == n-1) break; if(edge[i].w < 0) continue; int fx = findset(edge[i].u) int fy = findset(edge[i].v); if(fx != fy) //修改部分，遍历两个点所在集合 { for(w=first[fx];w!=-1;w=G[w].next) { for(v=first[fy];v!=-1;v=G[v].next) { //每次合并两个等价类的时候，分别属于两个等价类的两点间的最长边一定是当前加入的边 mp[G[w].v][G[v].v] = mp[G[v].v][G[w].v] = edge[i].w; } } //合并两个邻接链表 G[end[fy]].next = first[fx]; end[fy] = end[fx]; fa[fx] = fy; k++; edge[i].chose = 1; } } } int main() { //初始化建图 int mst,secmst; Kruskal(edge); mst = 0; for(i=1;i<=m;i++) if(edge[i].chose) mst += edge[i].w; secmst = INF; for(i=1;i<=m;i++) { if(!edge[i].chose) { secmst = min(secmst,mst+edge[i].w-mp[edge[i].u][edge[i].v]); } } return 0; }
原文地址：http://www.cnblogs.com/whatbeg/p/3775281.html
