妙用生成函数

标签：

还是从一道题目来开始生成函数的研究吧，下面的题目取自HDU_1028:

可以这样考虑，一个自然数的一个可能的组合形式可以包含任意个1，任意个2，任意个3，... 等等组成。
因此我们有G(x) = (1+x^1+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6)...(1+x^n+x^2n+...)，该公式中的1可以看成x^0，不难得出，该生成函数展开后的形式中每一项的幂就代表一个自然数，其前的系数代表该自然数的组合形式有多少，我们模拟手工计算的方式写出程序：

#include<stdio.h> 
#include<string.h>
int main(void)
{
    int arr[130];
    int temp[130];
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for(int i = 0; i <= n; i++) // 初始化第1个表达式的系数;任何自然数都可以表示成若干个1的和
        {
            arr[i] = 1;
            temp[i] = 0;
        }
        for(int i = 2; i <= n; i++) // 从第2个表达式开始到第n个表达式
        {
            for(int j = 0; j <= n; j++) // 最前面表达式的各个系数为arr[i]
            {
                for(int k = 0; k+j <= n; k += i) // 最前面的下一个表达式,指数增量为i
                    temp[k+j] += arr[j]; // 指数为j+k的系数为arr[k+j]加上最前面的那个表达式的指数为j的系数(即temp[j])
            }
            for(int i = 0; i <= n; i++) // 前i个表达式的乘积系数
            {
                arr[i] = temp[i]; 
                temp[i] = 0; // 临时数组清零以备下次使用
            }
        }
        printf("%d\n", arr[n]);
    }
    
    return 0;
}

注意到这个程序完全模拟了手工计算的过程，一个接一个的表达式相乘（排在最前面的那两个），并且忽略了我们不关心的部分，即大于n的情况没有计算。另外，测试可知，int型能放得下n = 120 的情况，因此我们可以不用long long int。额外的，如果在线评测系统测试数据量很大的话，上面的程序由于重复计算可能造成超时，因此可以采用预处理的方式，俗称打表法：

#include<stdio.h> 
#include<string.h>
#define MAXN 120
int main(void)
{
    int arr[130];
    int temp[130];
    int n;
    
    for(int i = 0; i <= MAXN; i++) 
    {
        arr[i] = 1;
        temp[i] = 0;
    }
    for(int i = 2; i <= MAXN; i++) 
    {
        for(int j = 0; j <= MAXN; j++) 
        {
            for(int k = 0; k+j <= MAXN; k += i) 
                temp[k+j] += arr[j]; 
        }
        for(int i = 0; i <= MAXN; i++) 
        {
            arr[i] = temp[i]; 
            temp[i] = 0;
        }
    }
    
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        printf("%d\n", arr[n]);
    }
    
    return 0;
}

为了充分理解上面代码的含义，我们故技重施，再取一题，HDU_1398:

同样地，我们写出其生成函数G(x) = (1+x^1+x^2+x^3+...)(1+x^4+x^8+x^12+...)...(1+x^298+x^596+...)，写程序来模拟手工计算过程如下：

#include<stdio.h> 
int main(void)
{
    int ans[310];
    int temp[310];
    int n;
    while(scanf("%d", &n) && n!=0)
    {
        for(int i = 0; i <= n; i++)
        {
            ans[i] = 1;
            temp[i] = 0;
        }
        for(int i = 2; i*i <= n; i++) // 另一个注意点,如果i <= n 的话，由于循环次数增多31MS才AC(i*i <= n 0MS_pass)
        {
            for(int j = 0; j <= n; j++)
            {
                for(int k = 0; k+j <= n; k += i*i) // 一个注意点
                    temp[k+j] += ans[j];
            }
            for(int i = 0; i <= n; i++)
            {
                ans[i] = temp[i];
                temp[i] = 0;
            }
        }
        printf("%d\n", ans[n]);
    }

    return 0;
}

打表法和上一题的程序中的打表法完全相同，不再赘述。

All Rights Reserved.
Author：海峰:)
Copyright © xp_jiang. 
转载请标明出处：http://www.cnblogs.com/xpjiang/p/4430256.html
以上.

妙用生成函数

标签：

原文地址：http://www.cnblogs.com/xpjiang/p/4430256.html