前面的近似策略是寻找了 energy functional 的近似，该近似导致了 LBP，这使得 message passing 的算法不变。近似使用 I-projection，尽管这个一般说来并不容易得到解，但是给出了 partition function 的下界。这部分我们讨论的第一个策略是尽量保持目标函数不变，而在更新的时候使用近似的消息。
这个想法来自这样一个观察：如果我们用消息的 M-projection，比如离散变量情形，如果假定了近似分布是 factorized，我们根据前面的结论就知道这相当于要求在这些 margin 上近似分布与 message 相同。咋一看 M-projection 似乎使我们得到了更好的算法（因为有解析解了），但是问题是我们在原分布上做 inference，这些边际分布往往是 intractable 或者未知的。但是这里的 trick 就是如何 decompose 原来的 graph，如果我们得到的两个子图仍然具有比较复杂的结构，那么计算 message 就会比较麻烦（因为需要 marginalize 掉一些变量），但是如果我们让这些子图都是简洁的 tree 这种，我们可以直接用 BP 就能快捷的计算出来需要的 margin 了，这意味着这时的近似消息成为了可能！这样我们的基本思路就是沿用 LBP 的框架，将消息替换成为 M-projection 获得的简化版本。
对 message passing 的另一种参数化，即 belief update 而言，对精确的情形我们有 
为了能够方便的计算我们的 approximate message，我们将候选的近似分布选择为指数族，事实上指数族的 M-projection 导致了
moment matching 这个要求：以上方法我们首先需要为 belief 获得近似，通过指数族的 sufficient statistics 上的
matching（如果我们能能算，否则 EP 就不能用，如 MRF），我们就可以得到 ，另一方面我们因为 message 也是
exponential family，我们有
EP 有一个问题是对 BN 很多时候可以获得合适的 M-projection，但是更新的策略却往往无视了参数空间的约束，这导致 EP 迭代中可能获得非法参数，某些问题中这可能导致严重的后果。
那么 EP 对应于一个什么样的优化问题呢？从某个角度我们很容易发现，那就是以上更新公式将参数放在一起
这等价于要求两侧的矩 matching，而不是原先的分布是 consistency 的：
而与前者一样使用的都是近似的 energy functional。我们对这个问题使用 Lagrange multiplier 就可以证明，EP 的消息传递等价于对应的 fixed point equation 的迭代。
正是由于这个方法使用了近似的消息，我们无法保证其收敛性，这也是它与后一种方法（structured variational approximation）的重要区别。这里我们将近似函数族选的足够的简单，使得上面的 inference 非常容易，常见的选择就是让这个部分 factorized 足够厉害，当然这表示近似分布的表述力也会比较有限，然而我们得以可以优化精确的 free energy（也是 I-projection）。
那么这种想法最极端的形式（mean field approximation）就是将近似分布选择为完全独立的情况，此时自由能中 factor 部分成为
这导致了很简洁的更新方式，每次固定其他的更新某一个 
完全独立便于推导，但是其表述能力比较有限，比较自然的想法就是 decompose 的时候不要那么彻底，而是保留些结构（与 EP
在这方面的想法类似）。这时，我们假定有一个我们设定的分解记为 
同样我们可以获得类似的算法和证明收敛性。另外有一些关于简化 MRF 分解的东西后面再仔细看看吧。
另外一种策略是使用 local variational bound。这就是为我们 maximize 的 objective function 找到合理的下界，这样我们通过 optimize 一个更简单的目标函数得以最大化目标函数的下界。常用的 lower bound 就是通过凸函数的 Legendre-Finchel 变换后获得的界（往往是在 local 区域逼近较好）进行优化（调整 variational parameters）。
最后想谈一下与 PRML 在这方面的比较。读书笔记节选的七和八对应于 PRML 中第八章和第十章，很显然 PRML 对 exact inference 讲的比较详细，更侧重于“过程”，PGM 这部分更偏重理论；对于 LBP，PRML 仅仅一带而过。PGM 将几种近似的策略从优化的角度完美的统一了起来，进行了细致的区分，每种算法都可以用 stationary point 处满足的 fixed point equation 获得迭代的算法，这的确是比 PRML 上通过一些具体例子讲的更加理论和清晰。总体感觉来说 PRML 将几种解决问题的思路与一些具体的例子（特别是 machine learning 里面常见的例子）结合的比较清楚，特别是一些连续变量的情形，这方面我觉得需要在看完 PGM 后重新认识一下，推导一下。
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And Abimelech took sheep, and oxen, and menservants, and
womenservants, and gave them to Abraham, and restored him Sarah his
wife.
原文地址：http://www.cnblogs.com/focus-ml/p/3775445.html
