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这部分我们讨论结构学习，也就是 graph 的边我们并不清楚。很自然我们可以用 fully observed 数据来做，但是也可能碰到有 missing data 的情况。一般来说前者是比较常见的。就方法而言，我们有 constraint-based structure learning 与 score-based structure learning 两种选择，后者在实际中更常用一些。具体做之前我们需要清楚这样一件事情，我们能做到的只是发现 I-equivalent 的 graph 结构，同一个分布的 perfect map 之间我们无法区分开来。多数情况下，我们如果少做了 independency assertion 就会导致获得的 graph 边增多，这带来许多额外的参数；而少做获得的不精确的结构可能导致不能捕获数据中特殊的结构。实际操作中，由于数据的有限，我们往往倾向于更简单的模型（边较少），这样泛化能力会相对较好。

constraint-based structure learning

所谓 constraint-based structure learning 的思路实际上来源于前面关于 perfect map 的研究，以下算法可以帮助我们通过多项式次的 independence test 解决问题：

• 首先构造一个 skeleton，我们从完全图开始，对所有的 对，进行检验，同时遍历所有的 candidate set（大小不超过给定值的子集）中的，看看当前数据是否支持给定这个子集后 独立，如果发现了独立的我们就从完全图中去掉 这条边，并将这个子集 记录下来，获得的图和 就是我们的 skeleton
• 在 skeleton 中寻找 immoral 情形，即将以上无向图转换成有向，这主要是需要对 intercausal 的情形进行特殊处理：因为无向图给定 V 型转折点后两头是独立的，而对有向图来说这恰好不是独立的。为此我们在 skeleton 中寻找具有连接 但没有 的三元组，如果的确 ，那么就印证了前面的 intercausal 的情形，因此将边设为我们需要的方向即可。
• 在此之后还有一些边仍未获得有向边，我们利用三条规则不断的加上方向即可：
  • 如果 ，则替换为
  • 如果 且 ，则将 换成
  • 如果 且 ，则将 换成 。

这个算法将返回一个 PDAG（partially directed acyclic graph）。那么现在的问题就是如何检验条件独立性了，这部分在统计里面是一个重要的研究课题。对离散 r.v.s 来说， 检验大概是最常见的了，binary 的也叫 McNemar test。另外用于检验两个分布是否相同的 Kolmogorov-Smirnov test 也可以用来干这个事情，它一般检验的是 和 是否一样。

除了这些思路以外，很重要的一个处理连续 r.v.s 的思路是 kernel-based independence test，这最早来源于一个很著名的命题，即如果两个随机变量 独立，则对于任意连续函数 ，也就是说两者的协方差为 0。这个命题反过来，如果仅仅是给定一两个连续函数有协方差为零我们却不能断言 独立。事实上只有当我们的连续函数族取得足够大的时候，这个命题才成立。很自然的想法就是使用一族能逼近任意连续函数的函数族（比如 Fourier 变换的基，或者 RBF），可以证明某些 RKHS 是满足我们的要求的，因此在上面使得 empirical 协方差足够小似乎就能 claim 独立性了，这正是后来 Michael Jordan 的学生 Francis Bach 在 JMLR 上的工作，之后 Arthur Gretton、Alex Smola、Kenji Fukumizu 等人沿着这个方向做了不少工作。最初仅仅用来 representation 的 kernel methods，也主要出现在 linear model 的非线性化文献中，没想到在 independence test 里面也能找到这样神奇的应用。当然很自然的，这个算法最早也被应用到 ICA 问题里面和 SDR 问题（sufficient dimensionality reduction）里面。现在看来所谓的 SDR，其实意味着 PGM 上类似 cut 的概念（d-sep or graph cut）。

score-based structure learning

既然前面这么强调 MLE，没有结构的时候很自然的想法是是否我们可以拿 log-likelihood 也作为评估 graph 好坏的的标准呢？比如我们可以如下定义一个 ML score，

很可惜的是这样做一般不会 work。这是因为，一般的有

亦即最大对数似然等于 empirical 分布下，每个随机变量与其 parent r.v.s 的互信息减去每个随机变量的熵。这意味着我们通过增加“边”，也就是引入随机变量与其 parent 之间的依赖关系会在该 score 上获得额外的互信息项，而这个互信息是非负的，换言之这个 score 就会变大，因此 empirically speaking 当我们的样本有限的时候，使用 ML score 总会倾向增加边，因此获得的是一个 overfit 的 graph。这不是我们想要看到的事情。避免 overfit 的做法我们仍旧回到 Bayesian 的思路上来，

而这里

与 ML score 不同在于，我们这里并没有仅仅使用一个参数（即 MLE）来进行估计，而是在所有可能的 上进行的加权平均。那么为什么 Bayesian 方法会更好呢？有一种解释是说，如果我们将数据一个一个来看，可以发现这是做了一个类似 LOO 测试的过程，第一个样本通过先验来做，后面的每个根据前面的后验来做，因而

因此得到的是类似泛化误差的东西。对于 CPD 是 multinomial 的情形，我们可以选用 Dirichlet 作为先验（即 ）来实际计算这个 score。我们比较关心这个 score 的理论意义，这又如下结论：如果样本数 ，则

注意到前面两项，我们不难发现它就是 BIC（见这里），这里 是图 的（有效）参数个数。我们也知道 BIC 的相反数也就是所谓的 MDL 了。BIC 和 ML score 有一个特点，那就是对 I-equivalent 的 graph 具有相同的分值。不仅如此，BIC 还是 consistency 的，即随着样本的增多它能收敛到与真实网络结构 I-equivalent 的网络结构上，且这类网络最大化该 score。换言之 Bayesian score 也是 consistent 的。

这里一直都没介绍 与 （前者称为 structural prior，后者称为 parameter prior），对 structure prior 来说一般需要让它倾向边较少的，比如 ，其中 且 表示边的个数；对 Bayesian score 来说唯一一个导致 consistency 的 parameter prior 是所谓 BDe prior，也就是说如果要求 I-equivalent class 的 Bayesian score 相等，那么我们只能选择 BDe prior。structure prior 一般还需要有所谓 structure modularity，即 能分解成为几个 family 上的乘积，并且 I-equivalent class 具有相同的 prior。parameter prior 要求是 decomposable，即能分解成为类似 local likelihood 一样的 local score，并也具有 modularity。modularity 会导致后面的搜索算法得到简化。

搜索问题

前面求得了一个合适的 score 来评估不同 graph 的性能以后，我们还需要一个算法帮助我们将这个最优的结构搜索出来。这个搜索问题有训练数据、scoring function，候选网络结构。相对来说候选网络结构如果是 tree （如果不联通，可以是 forest）的话，我们可以很容易求解。当我们的 score 是 decomposable 的时候我们发现一个重要的观察，tree 意味着每个 r.v. 最多有一个 parent，这样我们根据 decomposability 把每个局部的如果是 parent 的 score 算出来，

然后根据这个 weight

加入边直到或者出现环，或者我们的 score 不再增加即可。这样问题就等价于寻找 maximum weighting tree/forest 了。如果 I-equivalent class 具有相同的 score，这里 ，搜索更容易。

对一般的 graph 来说，比如我们限制 parent 个数为 ，那么 tree 的 case 可以看成 的特例，很不幸的是如果 ，这个问题就变成了 NP-hard。因此常见的做法就是一些 heuristic search，为此我们会利用一些 local change（包括 edge deletion、addition 和 reversal）作为一些操作步骤，从初始的结构出发，没有更好办法的情况下，这是一个标准可以用 genetic algorithm 求解的“工序问题”。一般来说常见的处理还是 greedy 策略比较多，选择每次能最大化 score 增加的策略。

关于 missing data

由于 hidden r.v.s 我们甚至不晓得其取值、类型，这使得存在 missing data 时候的 structure learning 变得更为复杂。在前面的积分 里，由于要对 missing data 进行 marginalization，这使得积分变得更加复杂，一种策略就是计算这个积分的近似值。这个近似也就是我们常说的 Laplace 近似。这个 idea 和前面我个人理解的稍有差别，Laplace approximation 并非专为后验近似设计的，而是对一般形如 这类积分而设定，其中 ，我们知道后面的细节，那就是在 的 mode 展开这个函数到二阶导，继而将 ，这样由于近似函数可积（利用正态分布的系数就能很快计算出来），这导致我们拿到了这个积分近似，而现在我们将这个思想用在含有 missing value 的这个积分上，称对应的 score 为 Laplace score。可以证明随样本的增多它会收敛到 BIC + constant。

除了这种近似以外还有所谓 Cheeseman-Stutz score，这是用 Laplace approximation 的极限情况推出的更紧的近似。另外我们可以从 中进行 sampling，用样本来近似这个积分，这被称为 candidate method。最后是使用 variational bound 对这个进行近似。

有这些选择好的 score 以后，我们就可以进行 search 了。除了直接应用以上讲述的策略以外，我们还可以将 EM 的思想引入到这个问题上来。前面 Cheeseman-Stutz score 里面其实也用到了这个思想，就是我们如果用 complete data 一切就很容易计算了，继而我们就可以直接应用 structure learning 测策略学习结构，并且最后更新对应的参数。而给定参数后，我们又能生成新的 complete data。这也就是所谓的 structure EM 的策略。比起前面的 EM 多了一步对结构的学习。

关于 undirected graph

对 MRF 进行结构学习相对容易，前面的 constraint-based 方法由于只需要判定到第一步就完了，所以更简单。相反使用 score-based 方法会变的复杂（由于 partition function 的存在）。我们只考虑 log-linear model，这个时候将 ML score 或者 BIC 代入后一个很重要的观点就变成了 model selection 向 feature selection 的转化，因为 feature 是定义在 clique 上的函数，那么如果某些 feature 被剔除掉了，就等价于某些边消失了。这时由于 BIC 不是一个连续可通过梯度优化的东西，我们找到了 surrogate。这完全等价于在 MLE 的时候加入 的 learning 问题。且由于前面说的 MLE 是 concave、 是 convex，两者放一块有唯一的全局最优解。赶紧用梯度法来求解吧（不容易啊不容易…）

关于 Bayesian averaging

想法很简单，如果 structure 未知，我们会在 structure 上设定先验，然后在后验上进行对测试的推断；就跟我们对参数的处理如出一辙。问题是我们有必要这么做吗？如果我们有很多数据，关于结构的概率分布就会集中在 true structure 上，因此我们这样做有点得不偿失，不如直接先 learn structure 而后在一个 structure 上进行预测，这样近似就是有道理的。但是如果数据较少，这时我们会发现可能有多个 structure（未必是 true structure）都会有相当的 score，这时我们就有理由不再做前面这种近似了。

在一般情况下我们也能猜出来是很难做到这些的，一个比较重要的情况是如果我们已知 graph 仅仅出现在符合某个 r.v.s 的序关系 情况下，即 仅仅在 的时候才会出现。这时利用

可以得到一个简化的表达。一般情况下只能借助 sampling 的策略来做了。

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And God heard the voice of the lad; and the angel of God called to Hagar out of heaven, and said to her, What ails you, Hagar? fear not; for God has heard the voice of the lad where he is.

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