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给出一个单词，在单词中插入若干字符使其为回文串，求回文串的个数（|s|<=200,n<=10^9）
这道题超神奇，不可多得的一道好题
首先可以搞出一个dp[l][r][i]表示回文串左边i位匹配到第l位，右边i位匹配到第r位的状态数，可以发现可以用矩阵乘法优化（某人说看到n这么大就一定是矩阵乘法了= =）
但这样一共有|s|^2个节点，时间复杂度无法承受
我们先把状态树画出来：例如add
可以发现是个DAG
我们考虑把单独的每条链拿出来求解，那么最多会有|s|条不同的链，链长最多为|s|，时间复杂度为O(|s|^4log n)还是得跪
好像没什么思路了对吧= =（我第一步转化就没想到了= =）
我们考虑记有24个自环的为n24，25个自环的为n25，可以发现n24+n25*2=|s|或|s|+1也就是说对于一个确定的n24，一定有一个确定的n25
那么这样构图：
可以发现所有状况都被包括进来了！！！
那么一共有2|s|个节点，时间复杂度降了一个|s|，看上去好像还是不行
压常数= =
可以发现这个是棵树，也就是说如果按拓扑序编号的话，到时的矩阵左下角将是什么都没有的
那么就直接for i = 1 to n j = i to n k=i to j 就行了 = =
总结下吧
这道题为何神奇呢
首先它把一个DAG的图拆成了若干条相似的链
然后它又把这些链和成了一个更和谐的图
最后再观察题目性质得到一个比较神奇的优化方法
这给了我们什么启迪呢= =
首先遇到某些DAG我们可以考虑拆成若干条相似的链
遇到某些链我们可以考虑把他们合成一个图
最重要的是，还是得参透题目的性质
这道题基本都是依靠题目的性质到达下一步的，只有真正读懂读透这道题，我们才能想出更好的解法
CODE:
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define maxn 410 #define mod 10007 typedef int ll; struct marix{ int r,c;ll a[maxn][maxn]; inline void init(int x){r=c=x;for (int i=1;i<=x;i++) a[i][i]=1;} }x,y; inline void muti(marix &ans,const marix x,const marix y){ ans.r=ans.c=x.r; for (int i=1;i<=x.r;i++) for (int j=i;j<=y.c;j++) { int tmp=0; for (int k=i;k<=j;k++) (tmp+=x.a[i][k]*y.a[k][j])%=mod; ans.a[i][j]=tmp; } } inline void power(marix &ans,marix x,int y) { ans.init(x.r); for (;y;y>>=1) { if (y&1) muti(ans,ans,x); muti(x,x,x); } } ll f[210][210][210]; char s[maxn]; inline ll calc(int l,int r,int x) { ll &u=f[x][l][r]; if (u!=-1) return u; u=0; if (l==r) return u=x==0; if (s[l]==s[r]) { if (l+1==r) return u=x==0; return u=calc(l+1,r-1,x); } if (x>0) return u=(calc(l+1,r,x-1)+calc(l,r-1,x-1))%mod; return u; } int main(){ int n,m; memset(f,-1,sizeof(f)); scanf("%s",s+1); scanf("%d",&n); m=strlen(s+1); n+=m; int l=(n+1)/2,n24=m-1,n25=(m+1)/2,n26=n25; x.r=x.c=n24+n25+n26; for (int i=1;i<=n24;i++) x.a[i][i]=24,x.a[i][i+1]=1; for (int i=n24+1;i<=n25+n24;i++) x.a[i][i]=25,x.a[i][i+n25]=1; for (int i=n24+n25+1;i<=n25+n24+n26;i++) x.a[i][i]=26; for (int i=n24+1;i<n25+n24;i++) x.a[i][i+1]=1; marix y; power(y,x,l-1); muti(x,y,x); ll ans; for (int i=0;i<=n24;i++) { int j=(m-i+1)/2,k=l-i-j; if (k<0) continue; ll sum=calc(1,m,i); (ans+=sum*x.a[n24-i+1][n24+j+n25]%mod)%=mod; if ((n&1)&&(m-i&1^1)) (ans=ans-sum*y.a[n24-i+1][n24+j]%mod+mod)%=mod; } printf("%d\n",ans); return 0; }
Codeforces 506E Mr. Kitayuta's Gift (矩阵乘法，动态规划)
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原文地址：http://www.cnblogs.com/New-Godess/p/4431497.html
