挑战程序设计竞赛 划分数,贝尔数,斯特灵数

斯特灵数：把$n$个数划分为恰好$k$个非空集合的个数，记为$S(n, k)$。且有：$S(n, 1) = S(n, n) = 1$。
有递推关系式:

$$S(n + 1, k) = S(n, k - 1) + kS(n, k - 1)$$
贝儿数:把$n$个数划分为非空集合的所有划分数。有： $$Bn = \sum_{i = 0} ^{ n} S(n, i)$$
贝尔数的递推公式： $$B_n = \sum_{k = 0} ^ {n} \binom{n}{k} B_k$$
书上的划分数：书上求的是：把$n$个相同的数划分为不超过$m$个集合的方法总数。由于这$n$个数是相同的，就不能算作$\sum_{i = 0} ^ {k} S(n, i)$.书上给了这样一个dp的转移方程（定义$dp[i][j]$为j个数的i划分）： $$dp[i][j] = dp[i][j - i] + dp[i-1][j]$$
严重显然正确，但是至今未明白原因。
附上书上代码:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 1009, INF = 0x3fffffff;
int n, m, dp[M][M];

int main(void) {
    while(cin >> n >> m) {
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 0; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = (j >= i ? dp[i][j - i] : 0) + dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return 0;
}