傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明

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1、  考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数，由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。假设可以，不失一般性，于是得到：

  f(t)= A0+∑(n=1,∞) Ansin(nwt+Φn)

2、  将后面的正弦函数展开：

    Ansin(nwt+Φn)=AnsinΦncosnwt+AncosΦnsinnwt

令 a0/2 =A0,an = AnsinΦn,bn=AncosΦn,x=wt,可得

   f(x)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnx+bnsinnx)

对两边积分，得

   ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +ƒ(-π->π)(∑(n=1,∞) (ancosnx+bnsinnx))dx

   ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑(1 -> ∞) (ƒ(-π->π)(ancosnx+bnsinnx)dx)

   ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]

   ƒ(-π->π) f(x)dx =a0/2 * 2π  +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]

由于三角函数系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……}  -------------- ⑴

在区间[-π,π]上正交，就是指在三角函数系⑴中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，即
∫[-π->π]cosnxdx=0
∫[-π->π]sinnxdx=0
∫[-π->π]sinkxcosnxdx=0
∫[-π->π]coskxcosnxdx=0
∫[-π->π]sinkxsinnxdx=0
(k,n=1,2,3.....,k≠n)

所以

  ƒ(-π->π) f(x)dx = ao * π

后面的积分很明显是0，于是我们求出了a₀的值。

      ao  = ƒ(-π->π) f(x)dx /π

那么如何求出a_n,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。

 ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = ƒ(-π->π)a0/2 * cosnx dx +ƒ(-π->π)(∑(n=1,∞)(ancosnx*cosnx + bnsinnx*cosnx))dx

 ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = ƒ(-π->π)a0/2 * cosnx dx +∑(n=1,∞)[ an ƒ(-π->π)cosnx*cosnxdx + bn ƒ(-π->π)sinnx*cosnxdx])

同样运用上面提到的性质，可以得到

   ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an ƒ(-π->π)[cosnx*cosnxdx]

  ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an  ƒ(-π->π)[1+cos2nx)/2 dx]

     ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an [  ƒ(-π->π)1/2 dx +  ƒ(-π->π)(cos2nx/2 )dx 

     ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an ( π + 1/2 *（ sin2nx|(-π->π))

      ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx = an  π

  得  an =  ƒ(-π->π) f(x)*cosnx dx/ π (n=1，2，3.....)

  再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到b_n,

      bn =  ƒ(-π->π) f(x)*sinnx dx/ π (n=1，2，3.....)

傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明

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原文地址：http://www.cnblogs.com/skyofbitbit/p/4437648.html