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现在我们就开始为剩余系建立“坐标”,完全剩余系是连续的,剩余类本身就是很好的坐标,所以这里我们只需讨论既约剩余系。前面已经知道\((a,m)=1\)时,总存\(d\)在使得\(a^d\equiv 1\pmod{m}\),满足条件的最小的\(d_0=\delta_m(a)\)称为\(a\)对模\(m\)的阶或指数,也可简记为\(\delta(a)\)。为了得到更进一步的结论,我们先整理一下指数的简单性质:
(1)若\(a^d\equiv 1\pmod{m}\),则\(\delta_m(a)\mid d\)。从而有若\(a^h\equiv a^d\pmod{m}\),则\(h\equiv d\pmod{m}\);
(2)\(\delta_m(a)|\varphi(m)\);\(\delta_m(a^{-1})=\delta_m(a)\)。
我们来继续研究指数的性质,首先考虑\(\delta^*=\delta_m(a^n)\),由\(a^{n\delta^*}\equiv 1\pmod{m}\)知\(\delta_m(a)\mid n\delta^*\),故容易有公式(1)。其次由定义显然有:若\(n\mid m\),则\(\delta_n(a)\mid \delta_m(a)\)。所以对互质分解\(m=m_1m_2\cdots m_n\),总有\(\delta_{m_k}(a)\mid \delta_m(a)\),再根据模的性质就有公式(2)。再进一步,对任意的\(a_1,a_2,\cdots,a_n\),考虑方程组\(x\equiv a_k\pmod{m_k}\)的唯一解\(a\)(剩余定理),显然有\(\delta_{m_k}(a)=\delta_{m_k}(a_k)\),再根据公式(2)可得\(a\)满足公式(3)。
\[\delta_m(a^n)=\dfrac{\delta_m(a)}{(\delta_m(a),n)}\tag{1}\]
\[\delta_m(a)=[\delta_{m_1}(a),\delta_{m_2}(a),\cdots,\delta_{m_n}(a)]\tag{2}\]
\[\delta_m(a)=[\delta_{m_1}(a_1),\delta_{m_2}(a_2),\cdots,\delta_{m_n}(a_n)]\tag{3}\]
再来研究\(\delta_m(a),a=a_1a_2\cdots a_n\),令\(\beta=[\delta(a_1),\cdots,\delta(a_n)]\),则显然有\(\delta(a)\mid \beta\)。先看\(\delta(a_k)\)互素的情况,这时\(\beta=\delta(a_1)\delta(a_2)\cdots\delta(a_n)\),令\(\beta_k=\dfrac{\beta}{\delta(a_k)}\)。因为\(1\equiv a^{\delta(a)\beta_k}\equiv a_k^{\delta(a)\beta_k}\pmod{m}\),故\(\delta(a_k)\mid \delta(a)\),从而有公式(4)。如果\(\delta(a_k)\)不互素,一般并没有\(\delta(a)=\beta\)。但反过来,对任意的\(a_1,a_2,\cdots,a_n\),利用公式(1)和(4)构造满足公式(5)的\(a\)还是很容易的。
\[\delta_m(a)=\delta_m(a_1)\delta_m(a_2)\cdots\delta_m(a_n)\tag{4}\]
\[\delta_m(a)=[\delta_m(a_1),\delta_m(a_2),\cdots,\delta_m(a_n)]\tag{5}\]
指数在研究循环小数时有个有趣的结论。对既约分数\(\dfrac{a}{b}\),如果有\(b=2^m\cdot 5^n\cdot k\),则\(\dfrac{a}{b}\)是循环小数的充要条件是\((10,k)=1,k>1\)。如果\(\delta_k(10)=c\),则最小循环周期为\(c\),并且小数点后的非循环数长度为\(\text{max}(m,n)\)。特别地,如果\((10,b)=1\),则\(\dfrac{a}{b}\)是纯循环小数。证明不难,你可以作为练习,关键是使用关系式\(10^c\equiv 1\pmod{k}\)。
由指数的性质(2)可知\(a,a^2,\cdots,a^{\delta_m(a)}\)是\(\delta_m(a)\)个不同的数,特别地当\(\delta_m(a)=\varphi(m)\)时,它们遍历\(m\)的既约剩余系。这种关系使得既约剩余系变得特别简单,我们也由此找到了合适的“坐标”。为此,当\(\delta_m(g)=\varphi(m)\)时称\(g\)称为模\(m\)的原根,它便是既约剩余系的单位元,负责将剩余系串成一个线性空间。先来思考几个问题:
• 如果\((n,\varphi(m))=1\),则\(x\)遍历\(m\)的既约剩余系时,\(x^n\)也遍历既约剩余系;
• 若\(q\equiv 1\pmod{4},p=2q+1\),或\(q\equiv 1\pmod{2},p=4q+1\),都有\(2\)是\(p\)的原根;
• \(a^n-b^n\)的素因子有形式\(kn+1\)或\(a^m-b^m,(m|n)\)。
我们自然会有问题:什么样的模数有原根?有多少个原根?如何判定?前面已经知道\(\delta(a)\mid \beta\),而除了\(1,2,4,p^e,2p^e\)这\(5\)种情况外(\(p\)为奇素数),容易其它证明都有\(\beta<\varphi(m)\),它们肯定没有原根。下面就需要论证那\(5\)种情况是否有原根,直接验算可知\(1,2,4\)有原根。对于模\(p\)的情况,由公式(5)知存在\(g\)使得\(\delta(g)=[\delta(1)\delta(2)\cdots\delta(p-1)]\),首先当然有\(\delta(g)|p-1\)。另外因为\(x^{\delta(g)}-1\equiv 0\pmod{p}\)有全解,则\(p-1|\delta(g)\)。从而\(\delta(g)=p-1\),所以\(p\)有原根\(g\)。
由\(g^d\equiv 1\pmod{p^e}\)和\(g^d\equiv 1\pmod{2p^e}\)的等价性,并且\(\varphi(p^e)=\varphi(2p^e)\),可知\(p^e\)和\(2p^e\)有相同的原根,这样一来我们就只需要讨论模\(p^e\)是否有原根了。当\(g\)是\(p^n\)原根时,因为\(p^n\mid p^{n+1}\),故\(\delta_{p^{n+1}}(g)\)为\(\varphi(p^n)\)或\(\varphi(p^{n+1})\)。要想\(g\)也是\(p^{n+1}\)的原根,必须\(\delta_{p^{n+1}}(g)=\varphi(p^{n+1})\),即满足式子(6)。而如果该条件满足,用归纳法可以验算得它对一切\(g^{\varphi(p^e)},(e\geqslant n)\)都满足,即\(g\)是所有\(p^e\)的原根。
\[g^{\varphi(p^n)}=1+r(n)p^n,\quad p\nmid r(n)\tag{6}\]
现在只要能证明以上条件对\(n=1\)成立(即\(g^{p-1}=1+rp,p\nmid r\)),我们就找到了所有模\(p^e\)的原根,研究证明了\(p^e\)原根的存在性。对模\(p\)的原根\(g\),考察\(g_k=g+kp,k=0,1,\cdots,p-1\)和式子(7)中的变形。\(r+(p-1)g^{p-2}k\)中有且仅一个是\(p\)的倍数,取其它任何一个值都能得到了满足条件的原根,条件得证。
\[g_k^{p-1}\equiv g^{p-1}+(p-1)g^{p-2}pk\equiv 1+p(r+(p-1)g^{p-2}k)\pmod{p}\tag{7}\]
至此我们已经证明了原根存在的充要条件是模为\(1,2,4,p^e,2p^e\)之一,但如果想要找出原根,目前还没有很简单的方法。一般只能逐个尝试每个数,然而利用公式(5)的构造法是可以加快计算的,比如如果已经知道\(\delta_{41}(2)=20\)和\(\delta_{41}(3)=8\),因为\([20,8]=40\),故\(2^4\cdot 3\equiv 7\pmod{41}\)是\(41\)的原根。
如果原根存在,选定一个原根\(g\)后,它的幂次遍历整个既约剩余系。如果\(g^k\equiv a\pmod{m}\),称\(k\)为\(a\)的指标,记作\(\gamma_{m,g}(a)\),或简记为\(\gamma_g(a)\)和\(\gamma(a)\)。指标将既约剩余系变成了一个完全剩余系,使其结构由分散的变为线性的,由此可以更好地研究它的性质。以下为原根的一些性质,其中性质(3)中蕴含了指数为\(d\mid \varphi(m)\)的数有\(\varphi(d)\)个,它们是\(g^{\frac{\varphi(m)}{d}k},(k,d)=1\)。特别地共有\(\varphi(\varphi(m))\)个原根,它们是\(g^k,(k,\varphi(m))=1\)。
(1)\(\gamma_{m,g}(ab)\equiv\gamma_{m,g}(a)+\gamma_{m,g}(b)\pmod{\varphi(m)}\);
(2)\(\gamma_{g_1}(a)\equiv\gamma_{g_1}(g_2)\gamma_{g_2}(a)\pmod{\varphi(m)}\),特别地有\(\gamma_{g_1}(g_2)\gamma_{g_2}(g_1)\equiv 1\pmod{\varphi(m)}\);
(3)\(\delta_m(a)=\dfrac{\varphi(m)}{(\gamma_{m,g}(a),\varphi(m))}\)。
我们一直想把指数当做即约剩余系的“坐标”,现在就来着手做这件事。一般的,将模\(m\)进行素数分解\(2^{e_0}\cdot p_1^{e_1}\cdot\cdots p_n^{e_n}\),其既约剩余系的每个数\(a\)在各个维度都有一个值\(a_k\)。对\(p_k^{e_k}\),前面的证明保证了它有原根\(g_k\),\(\gamma_k=\gamma_{p_k^{e_k},g_k}(a_k)\)就可以看做\(a\)在第\(k\)维的坐标。
但对于\(2^{e_0}\),除\(e_0<3\)外是没有原根的,\(e_0\geqslant 3\)时怎么建立坐标?通过归纳法你可以证明\(\delta_{2^e}(5)=2^{e-2}\),并且容易知道\(\pm 5^0,\pm 5^1,\cdots,\pm 5^{2^{e-2}-1}\)是它的一个既约剩余系。这样任何既约数都有唯一表达式(8),\(\gamma_{-1},\gamma_0\)就可以看做它的坐标。完整的就得到任何既约数的指标表达式(9)和(10)((10)中\(\tilde{g}_k^{\gamma_k}\)的是(9)中的\(\gamma_k\)取\(1\)、其它取\(0\)得来),使用(10)来证明威尔逊定理就简单多了。
\[(-1)^{\gamma_{-1}}5^{\gamma_0},\quad (0\leqslant \gamma_{-1}<2,\:0\leqslant \gamma_0<2^{e-2})\tag{8}\]
\[a\equiv M_0^{-1}M_0(-1)^{\gamma_{-1}}5^{\gamma_0}+M_1^{-1}M_1g_1^{\gamma_1}+\cdots+M_n^{-1}M_ng_n^{\gamma_n}\pmod{m}\tag{9}\]
\[a\equiv \tilde{g}_{-1}^{\gamma_{-1}}\cdot\tilde{g}_0^{\gamma_0}\cdot\tilde{g}_1^{\gamma_1}\cdots\tilde{g}_n^{\gamma_n}\pmod{m}\tag{10}\]
最后再来看同余方程(11)它一般称为二项同余方程。如果方程有解,称\(a\)为\(m\)的\(n\)次剩余,否则称为\(n\)次非剩余。对\(m\)进行素数分解\(2^{e_0}\cdot p_1^{e_1}\cdot\cdots p_n^{e_n}\)后,方程可以化为一个方程组,我们只需分别讨论这些方程即可。
\[x^n\equiv a\pmod{m}\tag{11}\]
模\(p^e\)(\(p\)为奇素数)有原根\(g\),用它来分析二项方程会很简单(下面的讨论针对有原根的模\(m\)都成立)。将原根带入原方程,得到式子(12)的左侧,它显然对应于右侧的一元一次同余方程。可以先回顾一下一次方程\(ax\equiv b\pmod{m}\)的特点,令\(d=(a,m)\),则\(d\mid b\),且方程解的周期为\(\dfrac{m}{d}\),请先在脑子想象一下它们的布局。回到原方程,令\(d=(n,\varphi(m))\),则方程有解的充要条件是\(d|\gamma(a)\),且共有\(\dfrac{\varphi(m)}{d}\)个\(n\)次剩余。方程的解有\(d\)个,它们的周期是\(\dfrac{\varphi(m)}{d}\)。
\[(g^y)^n\equiv g^{\gamma(a)}\pmod{m}\:\Leftrightarrow\:ny\equiv \gamma_{m,g}(a)\pmod{\varphi(m)}\tag{12}\]
现在来把条件\(d|\gamma(a)\)转化为与\(a\)直接相关的。因为\(a=g^\gamma(a)\),使用公式(1)直接有式子(13)。结合条件\(d|\gamma(a)\),显然有\(\delta(a)|\dfrac{\varphi(m)}{d}\),它又等价于公式(14)。这就是方程有解的充要条件,明显二次剩余的判定条件只是它的特例。
\[\varphi(m)=(\varphi(m),\gamma(a))\delta_m(a)\tag{13}\]
\[a^{\frac{\varphi(m)}{(n,\varphi(m))}}\equiv 1\pmod{m}\tag{14}\]
对模\(m=2^e\)的情景需要单独考虑,前面的讨论中说明了它的既约剩余系有两个独立的维度,故只需分别讨论两个维度就行了。令\(a=(-1)^{\gamma_{-1}}5^{\gamma_0},d=(n,2^{e-2})\),可知方程有解的充要条件是\((n,2)\mid\gamma_{-1}\)且\(d\mid\gamma_0\),方程解的个数为\((n,2)d\)。展开说就是,当\(2\nmid n\)时有且仅有\(1\)解,既约剩余系的每个值都是\(n\)次剩余。当\(2\mid n\)时有解的充要条件是\(a=5^{\gamma_0}\)且\(d\mid\gamma_0\),并且有\(2d\)个解,共有\(\dfrac{2^{e-2}}{d}\)个数是\(n\)次剩余。
下面把\(2\mid n\)有解的充要条件转化为与\(a\)相关的,首先易知必有形式\(d=2^{\lambda},(\lambda\geqslant 1)\)。因为\(\delta_{2^{\lambda+2}}(5)=2^{\lambda}=d\),我们的条件\(d\mid\gamma_0\)其实等价于\(5^{\gamma_0}\equiv 1\pmod{2^{\lambda+2}}\),这就得到充要条件为公式(15)。当然你也可以得到与\(p^e\)类似的式子,但因为不如上式简洁,这里就不赘述了。
\[a\equiv 1\pmod{2^{\lambda+2}},\quad2^{\lambda}=(n,2^{e-2}),\:(\lambda\geqslant 1)\tag{15}\]
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