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概率论与数理统计复习
第一章 概率论的基本概念
一.基本概念
随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.
随机事件(事件):样本空间S的子集.
必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.
二. 事件间的关系和运算
1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.
2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.
3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.
4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.
5. AB=F (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.
6. AB=F且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .
运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律
三. 概率的定义与性质
1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.
(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;
(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),
P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…
2.性质
(1) P(F) = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .
(2)有限可加性 对于n个两两互不相容
的事件A1,A2,…,A n ,
P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .
(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .
(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .
对于任意n个事件A1,A2,…,A n
…+(-1)n-1P(A1A2…A n)
四.等可能(古典)概型
1.定义 如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.
2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.
五.条件概率
1.定义 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).
2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).
P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1) (n≥2, P(A1A2…A n-1) > 0)
3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) ,则
当P(B i)>0时,有全概率公式 P(A)=
当P(A)>0, P(B i)>0时,有贝叶斯公式P (Bi|A)= .
六.事件的独立性
1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件.
(1)两个事件A,B相互独立Û P(B)= P (B|A) .
(2)若A与B,A与,与B, ,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.
2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立.
3.n个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (1<k≤n),任意1≤i1<i2<…<i k≤n.有
,则称这n个事件A1,A2,…,A n相互独立.
第二章 随机变量及其概率分布
一.随机变量及其分布函数
1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.
2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数. 其性质为:
(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x1<x2 ,则 F(x1)≤F(x 2).
(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1).
二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)
1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k}= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:
(1)非负性 0≤Pk≤1 ; (2)归一性 .
2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k=P{X=x k} .
3.三种重要的离散型随机变量的分布
(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .
(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)
(3))X~p(l)参数为l的泊松分布 P{X=k}= (k=0,1,2,…) (l>0)
三.连续型随机变量
1.定义 如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=,-∞< x <∞,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).
2.概率密度的性质
(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 =1 ;
(3) P{x 1<X≤x 2}= ; (4)若f (x)在点x处连续,则f (x)=F/ (x) .
注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X= a}=0 .
3.三种重要的连续型随机变量的分布
(1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 .
(2)X服从参数为q的指数分布.
(q>0).
(3)X~N (m,s2 )参数为m,s的正态分布 -¥<x<¥, s>0.
特别, m=0, s2 =1时,称X服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度
, 标准正态分布函数 , F(-x)=1-Φ(x) .
若X～N ((m,s2), 则Z=~N (0,1), P{x1<X≤x2}=Φ()-Φ().
若P{Z>z a}= P{Z<-z a}= P{|Z|>z a/2}= a,则点z a,-z a, ±z a/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点. 注意：F(z a)=1-a , z 1- a= -z a.
四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布
1.离散型随机变量的函数
|
X |
x 1 x2 … x k … |
|
p k |
p 1 p2 … p k … |
|
Y=g(X) |
g(x1) g(x2) … g(x k) … |
若g(x k) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.
若g(x k) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.
2.连续型随机变量的函数
若X的概率密度为fX(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法：
(1)分布函数法 先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=
其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得fY(y)=FY /(y) .
(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为
其中h(y)是g(x)的反函数 , a= min (g (-¥),g (¥)) b= max (g (-¥),g (¥)) .
如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 a= min (g (a),g (b)) b= max (g (a),g (b)) .
第三章 二维随机变量及其概率分布
一.二维随机变量与联合分布函数
1.定义 若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.
对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.
2.分布函数的性质
(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.
(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ¥)=0, F(-¥,y)=0, F(-¥,-¥)=0, F(¥,¥)=1 .
(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .
(4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2
P{x 1<X≤x 2 , y 1<Y≤y 2}= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1)
二.二维离散型随机变量及其联合分布律
1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i,Y= y j }= p i j为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.
2.性质 (1)非负性 0≤p i j≤1 . (2)归一性 .
3. (X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=
三.二维连续型随机变量及其联合概率密度
1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x和y,有F(x,y)=
则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.
2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 .
(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则
(4)若G为xoy平面上一个区域,则.
四.边缘分布
1. (X,Y)关于X的边缘分布函数 FX (x) = P{X≤x , Y<¥}= F (x , ¥) .
(X,Y)关于Y的边缘分布函数 FY (y) = P{X<¥, Y≤y}= F (¥,y)
2.二维离散型随机变量(X,Y)
关于X的边缘分布律 P{X= x i }= = p i· ( i =1,2,…) 归一性 .
关于Y的边缘分布律 P{Y= y j }= = p·j ( j =1,2,…) 归一性 .
3.二维连续型随机变量(X,Y)
关于X的边缘概率密度f X (x)= 归一性
关于Y的边缘概率密度f Y (y)= 归一性
五.相互独立的随机变量
1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= FX (x) FY (y) ,则称X和Y相互独立.
2.离散型随机变量X和Y相互独立p i j= p i··p·j ( i ,j =1,2,…)对一切xi,yj成立.
3.连续型随机变量X和Y相互独立f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.
六．条件分布
1．二维离散型随机变量的条件分布
定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称
P{X=x i |Y=yj}
为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.
同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称
P{Y=yj|X=x i}
为在X=xi条件下随机变量Y 的条件分布律.
第四章 随机变量的数字特征
一.数学期望和方差的定义
随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量
分布律P{X=x i}= pi ( i =1,2,…) 概率密度f (x)
数学期望(均值)E(X) (级数绝对收敛) (积分绝对收敛)
方差D(X)=E{[X-E(X)]2}
=E(X2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛)
函数数学期望E(Y)=E[g(X)] (级数绝对收敛) (积分绝对收敛)
标准差s(X)=√D(X) .
二.数学期望与方差的性质
1. c为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .
2.X,Y为任意随机变量时, E (X±Y)=E(X)±E(Y) .
3. X与Y相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X±Y)=D(X)+D(Y) .
4. D(X) = 0 P{X = C}=1 ,C为常数.
三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)
1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)
2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)
3.X~ p(l) l l
4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12
5.X服从参数为q的指数分布 q q2
6.X~ N (m,s2) m s2
四.矩的概念
随机变量X的k阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,…
随机变量X的k阶中心矩E{[X-E(X)] k}
随机变量X和Y的k+l阶混合矩E(X kY l) l=1,2,…
随机变量X和Y的k+l阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }
第六章 样本和抽样分布
一.基本概念
总体X即随机变量X ; 样本X1 ,X2 ,…,X n是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x1 ,x2 ,…,x n为实数;n是样本容量.
统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：
样本均值 样本方差 样本标准差S
样本k阶矩( k=1,2,…) 样本k阶中心矩( k=1,2,…)
二.抽样分布 即统计量的分布
1.的分布 不论总体X服从什么分布, E () = E(X) , D () = D(X) / n .
特别,若X~ N (m,s2 ) ,则 ~ N (m, s2 /n) .
2.c2分布 (1)定义 若X～N (0,1) ,则Y =~ c2(n)自由度为n的c2分布.
(2)性质 ①若Y~ c2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .
②若Y1~ c2(n1) Y2~ c2(n2) ,则Y1+Y2~ c2(n1 + n2).
③若X~ N (m,s2 ), 则~ c2(n-1),且与S2相互独立.
(3)分位点 若Y~ c2(n),0< a <1 ,则满足
的点分别称为c2分布的上、下、双侧a分位点.
3. t分布
(1)定义 若X~N (0,1),Y~ c2 (n),且X,Y相互独立,则t=~t(n)自由度为n的t分布.
(2)性质①n→∞时,t分布的极限为标准正态分布.
②X～N (m,s2 )时, ~ t (n-1) .
③两个正态总体 相互独立的样本 样本均值 样本方差
X~ N (m1,s12 ) 且s12=s22=s2 X1 ,X2 ,…,X n1 S12
Y~ N (m2,s22 ) Y1 ,Y2 ,…,Y n2 S22
则 ~ t (n1+n2-2) , 其中
(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < a<1 , 则满足
的点分别称t分布的上、下、双侧a分位点.
注意: t 1- a (n) = - ta (n).
4.F分布 (1)定义 若U~c2(n1), V~ c2(n2), 且U,V 相互独立,则F =~F(n1,n 2)自由度为(n1,n2)的F分布.
(2)性质(条件同3.(2)③) ~F(n1-1,n2-1)
(3)分位点 若F~ F(n1,n2) ,0< a <1,则满足
的点分别称为F分布的上、下、双侧a分位点. 注意:
第七章 参数估计
一.点估计 总体X的分布中有k个待估参数q1, q2,…, qk.
X1 ,X2 ,…,X n是X的一个样本, x1 ,x2 ,…,x n是样本值.
1.矩估计法
先求总体矩解此方程组,得到,
以样本矩Al取代总体矩m l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量,
若代入样本值则得到矩估计值.
2.最大似然估计法
若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, q1, q2,…, qk),称样本X1 ,X2 ,…,X n的联合分布为似然函数.取使似然函数达到最大值的,称为参数q1, q2,…,qk的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.
若L(q1, q2,…, qk)关于q1, q2,…, qk可微,则一般可由
似然方程组 或 对数似然方程组 (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计.
3.估计量的标准
(1) 无偏性 若E()=q,则估计量称为参数q的无偏估计量.
不论总体X服从什么分布, E ()= E(X) , E(S2)=D(X), E(Ak)=mk=E(Xk),即样本均值, 样本方差S2,样本k阶矩Ak分别
是总体均值E(X),方差D(X),总体k阶矩mk
的无偏估计,
(2)有效性 若E(1 )=E(2)= q, 而D(1)< D(2), 则称估计量1比2有效.
(3)一致性(相合性) 若n→∞时,,则称估计量是参数q的相合估计量.
二.区间估计
1.求参数q的置信水平为1-a的双侧置信区间的步骤
(1)寻找样本函数W=W(X1 ,X2 ,…,X n,q),其中只有一个待估参数q未知,且其分布完全确定.
(2)利用双侧a分位点找出W的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-a.
(3)由不等式a<W<b解出则区间()为所求.
2.单个正态总体
待估参数 其它参数 W及其分布 置信区间
m s2已知 ~N (0,1) ()
m s2未知 ~ t (n-1)
s2 m未知 ~ c2(n-1)
3.两个正态总体
(1)均值差m 1-m 2
其它参数 W及其分布 置信区间
~ N(0,1)
～t(n1+n2-2)
其中Sw等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.
(2) m 1,m 2未知, W=~ F(n1-1,n2-1),方差比s12/s22的置信区间为
注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标a/2改为a,另外的下(上)限取为-¥ (¥)即可.
http://blog.renren.com/share/239457523/10397960763
http://blog.csdn.net/viewcode/article/details/8819361
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