【BZOJ 2395】 [Balkan 2011]Timeismoney

2395: [Balkan 2011]Timeismoney

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Description

 有n个城市(编号从0..n-1)，m条公路(双向的)，从中选择n-1条边，使得任意的两个城市能够连通，一条边需要的c的费用和t的时间，定义一个方案的权值v=n-1条边的费用和*n-1条边的时间和，你的任务是求一个方案使得v最小

Input

第一行两个整数n,m,接下来每行四个整数a,b,c,t,表示有一条公路从城市a到城市b需要t时间和费用c
Output

【output】timeismoney.out
仅一行两个整数sumc，sumt,（sumc表示使得v最小时的费用和，sumc表示最小的时间和） 如果存在多个解使得sumc*sumt相等，输出sumc最小的
Sample Input

5 7

0 1 161 79

0 2 161 15

0 3 13 153

1 4 142 183

2 4 236 80

3 4 40 241

2 1 65 92

Sample Output

279 501

HINT

【数据规模】

1<=N<=200

1<=m<=10000

0<=a,b<=n-1

0<=t,c<=255

有5%的数据m=n-1

有40%的数据有t=c

对于100%的数据如上所述

最小乘积生成树模板题。

最小乘积生成树：
每条边有两个权值$a[i].x,a[i].y$，使得$\sum a[i].x*\sum a[i].y$最小的生成树是最小乘积生成树。

我们把$\sum a[i].x$看做横坐标$x$，$\sum a[i].y$看做纵坐标$y$，要求$k=xy$最小，即使得反比例函数$y=\frac kx$最接近坐标轴。

因此我们需要求出所有这些点构成的凸包的左下部分，从中找一个最大的。

怎么求凸包的左下部分呢？
用分治法。

1.首先分别求出$\sum a[i].x$最小的和$\sum a[i].y$最小的点为$A,B$（这个就是普通的MST）,然后再求出离线段$AB$最远的点$C$(靠近原点一侧)；

2.然后递归下去分别求离$AC，CB$最远的点。。。

3.最后整个左下凸包上的点就都求出来了。

如何求离线段$AB$最远的$C$点呢？

离$AB$最远的点$C$必然使得$S_{\triangle ABC}$最大，用叉积算面积，即让$\vec{AB}\times\vec{AC}$最小:

我们要让前面那一部分最小，那么把所有边权赋值为$a[k].x*(A.y-B.y)+a[k].y*(B.x-A.x)$，然后求最小生成树就把$C$点求出来了~

边界就是$\vec{AB}\times\vec{AC}\ge0$。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,f[205];
struct edge
{
    int x,y,t,c;
    LL v;
}e[100005];
struct Point
{
    LL x,y;
}ans,A,B;
bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.v<b.v;
}
int Getfather(int x)
{
    return f[x]==x?x:f[x]=Getfather(f[x]);
}
Point Kruscal()
{
    Point p=(Point){0,0};
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=i;
    int now=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int fx=Getfather(e[i].x),fy=Getfather(e[i].y);
        if (fx==fy) continue;
        p.x+=e[i].c,p.y+=e[i].t;
        f[fx]=fy;
        now++;
        if (now==n) break;
    }
    if ((ans.x*ans.y==p.x*p.y&&p.x<ans.x)||ans.x*ans.y>p.x*p.y)
        ans=p;
    return p;
}
LL Cross(Point a,Point b,Point c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
void Solve(Point a,Point b)
{
    LL y=a.y-b.y,x=b.x-a.x;
    for (int i=1;i<=m;i++)
        e[i].v=1LL*e[i].c*y+1LL*e[i].t*x;
    Point p=Kruscal();
    if (Cross(p,a,b)>=0) return;
    Solve(a,p);
    Solve(p,b);
}
int main()
{
    ans.x=1e9,ans.y=1e9;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].c,&e[i].t),
        e[i].x++,e[i].y++,e[i].v=e[i].c;
    A=Kruscal();
    for (int i=1;i<=m;i++)
        e[i].v=e[i].t;
    B=Kruscal();
    Solve(A,B);
    printf("%lld %lld\n",ans.x,ans.y);
    return 0;
}