数据结构 -树和二叉树

树的主要内容

   树型结构：非线性结构，以分支关系定义的层次结构。
    主要内容：
         树和二叉树的概念、性质
         二叉树的存储
         二叉树的遍历
         线索二叉树
         树与二叉树的转化
         Huffman树（最优树）

树的定义

树(Tree)是n(n≧0)个结点的有限集合T，若n=0时称为空树，否则：
⑴ 有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点；
⑵ 若n>1时，其余的结点被分为m(m>0)个互不相交的子集 T1, T2, T3…Tm，其中每个子集本身又是一棵树，称其为根的子树(Subtree)。
这是树的递归定义，即用树来定义树，只有一个结点的树仅由根组成。

树的基本术语

⑴ 结点(node)：一个数据元素及其若干指向其子树的分支（指针）。
⑵ 结点的度(degree) ：结点所拥有的子树的棵数
(3)树的度: 树中结点度的最大值。
(4) 叶子(leaf)结点：树中度为0的结点,又称为终端结点。
(5) 非叶子结点:度不为0的结点，又称为非终端结点或分支结点)。除根结点外，分支结点又称为内部结点。
(6) 孩子结点、双亲结点、兄弟结点
一个结点的子树的根称为该结点的孩子结点(child)或子结点；
相应地，该结点是其孩子结点的双亲结点(parent)或父结点。
同一双亲结点的所有子结点互称为兄弟结点
(7) 层次：规定树中根结点的层次为1，其余结点的层次等于其双亲结点的层次加1。
若某结点在第l(l≧1)层，则其子结点在第l+1层。
(8) 堂兄弟结点：双亲结点在同一层上的所有结点.
在图6-1(b)中结点E、F、G、H、I、J。
(9) 结点的层次路径: 从根结点开始，到达某结点p所经过的所有结点 (有且只有一条)。
(10) 祖先：结点p的层次路径上的所有结点（p除外） 。
(11) 子孙(descent) ：以某一结点为根的子树中的任意结点 。
(12) 树的深度(depth)：树中结点的最大层次值, 在图6-1(b)中树的高度为4。
(13) 有序树和无序树：若将树中各结点的子树（若有）看成从左至右室有次序的（即不能互换），则该树称为有序树，否则称为无序树。
在有序树中，最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
(14)森林(forest)：m(m≧0)棵互不相交的树的集合。
若将一棵树的根结点删除，剩余的子树就构成了森林。

树的抽象数据类型定义

ADT Tree{
数据对象D：D是具有相同数据类型的数据元素的集合。
数据关系R：若D为空集，则称为空树；
……
基本操作：
……
} ADT Tree

二叉树的定义

1 二叉树的定义
二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合。n=0时称为空树，否则：
⑴ 有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点；
⑵ 若n>1时，其余的结点被分成为二个互不相交的子集T1,T2，分别称之为左、右子树，并且左、右子树又都是二叉树。

二叉树的定义是递归的。
说明：
1、二叉树每个结点最多有两棵子树，所有结点的度都不超过2；
2、左子树和右子树有顺序之分，次序不能颠倒；即使某结点只有一棵子树，也要区分左右。
二叉树在树结构中起着非常重要的作用。因为二叉树结构简单，存储效率高，树的操作算法相对简单，且任何树都很容易转化成二叉树结构。
以上引入的有关树的术语也都适用于二叉树。

满二叉树

满二叉树的特点：
满二叉树的所有的分支结点都有左、右子树；
所有的叶子结点都在只能出现在最下层；
非叶子结点的度一定是2；
在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点数最多，叶子结点最多（即每一层上的结点数达到最大）；

完全二叉树

完全二叉树(Complete Binary Tree)：
对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则该二叉树称为完全二叉树。

说明：
深度为k的满二叉树中编号从1到n的前n个结点构成了一棵深度为k的完全二叉树， 其中2k-1 ≦ n≦2k-1 。
完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特例。
完全二叉树的特点：
叶子结点只能出现在最下两层；
最下层的叶子结点一定集中在左边连续位置；
倒数第二层若有叶子结点，一定都在右边连续位置；
如果结点度=1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况；
同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小；
对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左子树的最大层次为l或l+1。

二叉树性质及其证明

性质1：在非空二叉树中，第i层上至多有2i-1个结点(i≧1)。

证明：用数学归纳法证明。
    当i=1时：只有一个根结点，21-1=20 =1，命题成立。
    现假设对i>1时，处在第i-1层上至多有2(i-1)-1个结点。
    由归纳假设知，第i-1层上至多有2i-2个结点。由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i-1层上最大结点数的2倍。
        即   2×2i-2＝2i-1                 
证毕

性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≧1) 。

证明：深度为k的二叉树的最大的结点数为二叉树中每层上的最大结点数之和。
    由性质1知，二叉树的第1层、第2层?第k层上的结点数至多有： 20、21 …2k-1 。
    ∴  总的结点数至多有： 20+21+ …+2k-1=2k-1     
证毕

 性质3：对任何一棵二叉树，若其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
证明：设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，则有：N=n0+n1+n2
   再看二叉树中的分支数：除根结点外，其余每个结点都有唯一的一个分支进入，设B为二叉树中的分支总数，则有：N=B+1。 
   而所有这些分支都是由度为1和2的结点发出的，所以：B＝n1+2?n2          
      ∴         N=B+1=n1+2?n2+1 
     ∴           n0+n1+n2=n1+2?n2+1 
      即          n0=n2+1                                                 证毕

性质4：n个结点的完全二叉树深度为：?㏒2n? +1。
 其中符号： ?x?表示不大于x的最大整数（下整数）。
            ?x? 表示不小于x的最小整数（上整数）。
证明：假设完全二叉树的深度为k，则根据性质2及完全二叉树的定义有：
2k-1-1<n≦2k-1  或   2 k-1≦n<2k
    取对数得：k－1<=㏒2n<k  因为k是整数。
    ∴  k= ?㏒2n? +1                   
证毕

性质5：若对一棵有n个结点的完全二叉树(深度为?㏒2n? +1)的结点按层（从第1层到第?㏒2n? +1层)序自左至右进行编号,则对于编号为i（1≦i≦n)的结点：
⑴ 若i=1：则结点i是二叉树的根，无双亲结点；若i>1，则其双亲结点编号是 ?i/2? 。
⑵ 如果2i>n：则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子结点编号是2i。
⑶ 如果2i+1>n：则结点i无右孩子；否则，其右孩子结点编号是2i+1。

  证明：用数学归纳法证明。首先证明⑵和⑶，然后由⑵和⑶导出⑴。
    当i=1时，由完全二叉树的定义知，结点i的左孩子的编号是2，右孩子的编号是3。
  若2>n，则二叉树中不存在编号为2的结点，说明结点i的左孩子不存在。
  若3>n，则二叉树中不存在编号为3的结点，说明结点i的右孩子不存在。
    现假设对于编号为j(1≦j≦i)的结点，(2)和(3)成立。即：
◆ 当2j≦n ：结点j的左孩子编号是2j；当2j>n时，结点j的左孩子结点不存在。
◆ 当2j+1≦n ：结点j的右孩子编号是2j+1；当2j+1>n时，结点j的右孩子结点不存在。